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Os pontos N, L e M são colineares e pertencem à chamada RETA DE NEWTON.
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1. Faremos uso do Teorema da Base Média de um Triângulo, que diz: "Dado um triângulo qualquer, o segmento que une os pontos médios de dois lados é paralelo ao terceiro lado e tem um comprimento igual a metade do comprimento desse terceiro lado."
Assim sendo, sejam P, Q e R os pontos médios dos lados do triângulo EBC.
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Assim, os pontos Q, L e R são colineares e além disso,
[tex3]\frac{QL}{LR}=\frac{EA}{AB}[/tex3]
Analogamente, aplicando o teorema da base média nos triângulos BED e BCD,
[tex3]\frac{RM}{MP}=\frac{CD}{DE}[/tex3]
E, por fim, nos triângulos EPQ e EPN,
[tex3]\frac{PN}{NQ}=\frac{BF}{FC}[/tex3]
Multiplicando essas três expressões membro a membro, encontraremos que:
[tex3]\frac{QL.RM.PN}{LR.MP.NQ}=\frac{EA.CD.BF}{AB.DE.FC}[/tex3]
2. Usaremos o Teorema de Menelaus, já demonstrado aqui no fórum.
Aplicando Menelaus no triângulo EBC, olhando para a reta que "passa" pelos pontos A, D e F, percebemos que o lado direito da expressão obtida é igual a um.
Assim, [tex3]\frac{QL.RM.PN}{LR.MP.NQ}=1[/tex3]
E, como L, M e N são pontos das retas suportes dos lados do triângulo PQR, segue que o teorema de Menelaus garante sua colinearidade.
