)
. As propriedades que aparecerão aqui, serão o sustentáculo das futuras Inequaliades geométricas, assunto esse que também vou demonstrar no futuro. Como o intuito desses tópicos é aumentar a concepção geometrica então será bem extenso e o máximo demonstrativo possível.
Para os mais antigos do fórum peço que compartilhem essas informações pois ainda hoje é extremamente difícil encontrar-las em sites comuns ou até mesmo em livros, todas as considerações serão válidas para aumentar cada vez mais a qualidade das informações do fórum.
CONSIDERAÇÕES FEITAS, PONHA EM LOOPING https://youtu.be/k5t0AVHDxPg e PARTIU!
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TEOREMA 1 [tex3]2S=ab*senC[/tex3]
Pela fórmula da área de um triângulo qualquer
[tex3]2S=b*h[/tex3]
Traçando a altura [tex3]BH=h[/tex3] tem-se no triângulo BCH que [tex3]h=a*senC[/tex3] e portanto
[tex3]2S=ab*sen(C)[/tex3]
TEOREMA 2 [tex3]S=pr[/tex3]
Pelos pontos de tangencia,[tex3]M,N,P[/tex3] na figura,entende-se que a área do triângulo ABC será soma das áreas dos triângulos AMI,MBI,BNI,CIN,AIP e CPI logo
[tex3]2S=(AM*r+MB*r+BN*r+CN*r+CP*r+AP*r)[/tex3] colocando em evidência e notando que [tex3]AM+MB=c,BN+CN=a, AP+PC=b[/tex3] tem-se
[tex3]2S=r(a+b+c)[/tex3]
[tex3]2S=2pr[/tex3]
Teorema 3 [tex3]pr²=(p-a)(p-b)(p-c)[/tex3]
Utilizando a fórmula se Heron ( viewtopic.php?t=547) e o o Teorema 2 temos
[tex3]pr=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/tex3] elevando ao quadrado e está verificada a relação
[tex3]pr²=(p-a)(p-b)(p-c)[/tex3]
Teorema 4 [tex3]\frac{1}{r}=\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}[/tex3]
Utilizando o Teorema 1 e o teorema 2 temos
[tex3]a*h_a=b*h_b=c*h_c=2S[/tex3] e então podemos escrever como
[tex3]\frac{a}{2S}=\frac{1}{h_a}[/tex3]
[tex3]\frac{b}{2S}=\frac{1}{h_b}[/tex3]
[tex3]\frac{c}{2S}=\frac{1}{h_c}[/tex3]
Somando as três equações
[tex3]\frac{a+b+c}{2S}=\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c} [/tex3]
[tex3]\frac{2p}{2S}=\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c} [/tex3]
Pelo teorema 2 [tex3]r=\frac{S}{p}[/tex3] e portanto
[tex3]\frac{1}{r}=\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c} [/tex3]
TEOREMA 5 [tex3]Sen²(\frac{A}{2})=\frac{(p-b)(p-c)}{bc}[/tex3]
[tex3]Sen(A)=2sen(\frac{A}{2})cós(\frac{A}{2})[/tex3]
[tex3]Sen(A)=2\frac{sen²(\frac{A}{2})}{tg(\frac{A}{2})}[/tex3]
[tex3]sen²(\frac{A}{2})=\frac{Sen(A)*tg(\frac{A}{2})}{2}[/tex3]
Pelo Teorema 1 [tex3]Sen(A)=\frac{2S}{bc}[/tex3]
No triângulo AMI [tex3]tg(\frac{A}{2})=\frac{r}{p-a}[/tex3] combinando isso tudo
[tex3]sen²(\frac{A}{2})=\frac{r}{p-a} \frac{2S}{2bc} [/tex3]
Pela fórmula de Heron e o teorema três
[tex3]sen²(\frac{A}{2})=\frac{S²}{p(p-a)} \frac{1}{bc} [/tex3] tal que
[tex3]sen²(\frac{A}{2})=\frac{p(p-a)(p-b)(p-c)}{p(p-a)bc} [/tex3]
[tex3]sen²(\frac{A}{2})=\frac{(p-b)(p-c)}{bc} [/tex3]
Teorema 6 [tex3]cos²(\frac{A}{2})=\frac{p(p-a)}{bc}[/tex3]
[tex3]cos²(\frac{A}{2})=1-sen(\frac{A}{2})[/tex3]
[tex3]cos²(\frac{A}{2})=1-\frac{(p-b)(p-c)}{bc} [/tex3]
[tex3]cos²(\frac{A}{2})=\frac{bc-p²+p(b+c)-bc}{bc} [/tex3]
[tex3]cos²(\frac{A}{2})=\frac{p(2p-a-p)}{bc} [/tex3]
[tex3]cos²(\frac{A}{2})=\frac{p(p-a)}{bc} [/tex3]
TEOREMA 7 [tex3]AI²=\frac{bc (p-a)}{p}[/tex3]
Pelo triângulo AIM
[tex3]AI=\frac{r}{Sen(\frac{A}{2})}[/tex3] elevando ao quadrado
[tex3]AI²=\frac{r²}{Sen²(\frac{A}{2})}[/tex3]
Pelos Teoremas 3 e 5 temos
[tex3]AI²=\frac{\frac{ (p-a)(p-b)(p-c) }{p} } {\frac{(p-b)(p-c)}{bc} }[/tex3] donde sai
[tex3]AI²=\frac{bc (p-a)}{p}[/tex3]
TEOREMA 8 [tex3]AI²=bc*tg(\frac{B}{2})tg(\frac{C}{2})[/tex3]
No triângulo AMI
[tex3]AI²=\frac{r²}{Sen²(\frac{A}{2})}[/tex3]
[tex3]AI²=\frac{r²}{\frac{(p-b)(p-c)}{bc} }[/tex3]
Note que [tex3]tg(\frac{B}{2})=\frac{r}{p-b}[/tex3] e [tex3]tg(\frac{C}{2})=\frac{r}{p-c}[/tex3] portanto
[tex3]AI²=bc*tg(\frac{B}{2})tg(\frac{C}{2})[/tex3]
TEOREMA 9 [tex3]\frac{1}{r}=\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_c} [/tex3]
Pela área do triângulo e função do exraio temos
[tex3]\frac{1}{r_a}=\frac{p-a}{S}[/tex3]
[tex3]\frac{1}{r_b}=\frac{p-b}{S}[/tex3]
[tex3]\frac{1}{r_c}=\frac{p-c}{S}[/tex3]
Somando as três
[tex3]\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_c}=\frac{3p-(a+b+c)}{S} [/tex3]
[tex3]\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_c}=\frac{3p-(2p)}{S} [/tex3]
[tex3]\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_c}=\frac{p}{S} [/tex3] e essa expressão nos conhecemos
[tex3]\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_c}=\frac{1}{r} [/tex3]
Teorema 10 [tex3]p=4Rcos(\frac{A}{2})*cós(\frac{B}{2})*cós(\frac{C}{2})[/tex3]
Pela lei dos senos (https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Lei_dos_senos)
[tex3]a=2Rsen(A)[/tex3]
[tex3]b=2Rsen(B)[/tex3]
[tex3]c=2Rsen(C)[/tex3]
Somando
[tex3](a+b+c)=2R(Sen(A)+Sen(B)+Sen(C))[/tex3]
[tex3]p=R(Sen(A)+Sen(B)+Sen(C)) [/tex3]
[tex3]= R·(senA + senB + sen(180° - A - B)[/tex3]
[tex3]= R·(senA + senB + sen(A + B)[/tex3]
[tex3]= R·(senA + senB + senA·cosB + cosA·sinB)[/tex3]
[tex3]= R·(senA·(1 + cosB) + senB·(1 + cosA))[/tex3]
[tex3] = R·(2sen(A/2)cos(A/2)·2cos²(B/2) + 2sen(B/2)cos(B/2)·2cos²(A/2))[/tex3]
[tex3]= 4R·cos(A/2)cos(B/2)(sen(A/2)cos(B/2) + sen(B/2)cos(A/2))[/tex3]
[tex3]= 4R·cos(A/2)cos(B/2)sen((A + B)/2)[/tex3]
[tex3]= 4R·cos(A/2)cos(B/2)sin(90° - C/2)[/tex3]
[tex3]= 4R·cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2).[/tex3]
Teorema 11 [tex3]S=2R²sen(A)*Sen(B)*Sen(C)[/tex3]
Sabemos que [tex3]2S=absen(C)[/tex3]
Pela lei dos senos [tex3]b=2Rsen(B)[/tex3]
[tex3]c=2Rsen(C)[/tex3] substituindo
[tex3]S=2R²sen(A)*Sen(B)*Sen(C)[/tex3]
Teorema 12
[tex3]S=pr[/tex3] usando as fórmulas anteriores
[tex3]2R²sen(A)*Sen(B)*Sen(C)=r* 4Rcos(\frac{A}{2})*cós(\frac{B}{2})*cós(\frac{C}{2}) [/tex3]
[tex3]2R²*8sen(A/2)*Sen(B/2)*Sen(C/2)*cós(A/2)*cós(B/2)*cós(C/2)=r* 4Rcos(\frac{A}{2})*cós(\frac{B}{2})*cós(\frac{C}{2}) [/tex3]
[tex3]Sen(A/2)Sen(B/2) Sen(C/2)= \frac{r}{4R}[/tex3]
Teorema 13 [tex3]S=r²cot(\frac{A}{2})*cot(\frac{B}{2})*cot(\frac{C}{2})[/tex3]
Pelo teorema de burlet(viewtopic.php?t=67972)
[tex3]S=AP*PA*cot(\frac{B}{2})[/tex3]
Mas [tex3]PA=rcot(A/2)[/tex3] e [tex3]PC=rcot(C/2)[/tex3] donde sai o resultado
[tex3]S=r²cot(\frac{A}{2})*cot(\frac{B}{2})*cot(\frac{C}{2})[/tex3]
Teorema 14 [tex3]p=r*cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)[/tex3]
Pelo teorema 13 e o fato [tex3]S=pr[/tex3] o resultado é imediato
TEOREMA 15
[tex3]S=(p-a)r_a[/tex3]
mas pela figura [tex3]p-a=rcot(A/2)[/tex3] então
[tex3]S=rr_acot(A/2)[/tex3]
TEOREMA 16
Observando a figura vemos que os Triângulos BEE_1 e PCI vemos que [tex3]PC=BE[/tex3] portanto
[tex3]rcot(C/2)=r_atg(B/2)[/tex3] tal que
[tex3]r=r_atg(B/2)*tg(C/2)[/tex3] combinando com o Teorema 15
[tex3]S=r_a²*cot(\frac{A}{2})*tg(\frac{B}{2})*tg(\frac{C}{2})[/tex3]
Teorema 17 [tex3]p²=r_ar_b+r_ar_c+r_br_c[/tex3]
[tex3]S²(\frac{1}{(p-b)(p-c)}+\frac{1}{(p-c)(p-a)}+\frac{1}{(p-a)(p-b)}[/tex3]
[tex3]\frac{S²p}{(p-a)(p-b)(p-c)}=p²[/tex3]
Deixo como desafio aos leitores determinar
[tex3]cos²(\frac{C-B}{2})[/tex3] e mostrar valor de [tex3]rr_ar_br_c=S²[/tex3]
Por hoje é só senhores, tenho mais ia DEMONSTRAÇÃO mas essa será em outro tópico
