Demonstrações(Demonstração) Generalização de áreas em um triângulo qualquer

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jvmago
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Dez 2020 06 21:01

(Demonstração) Generalização de áreas em um triângulo qualquer

Mensagem não lida por jvmago »

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USER_SCOPED_TEMP_DATA_MSGR_PHOTO_FOR_UPLOAD_1607294812295_6741483060392158465.jpeg (53.19 KiB) Exibido 1391 vezes
Esse Teorema acabará de uma vez por todas com todo e qualquer Problema nessa construção!

Sejam [tex3]a,b,c,d[/tex3] as áreas dos triângulos AMP, APC, PNC e do quadrilátero BMPN respectivamente ficará verificado para todo o sempre

[tex3]ac(a+2b+c+d)=b²d[/tex3]

DEMONSTRAÇÃO

Trace [tex3]MN[/tex3] pelo teorema das áreas divididas por suas diagonais teremos

[tex3]bk=ac[/tex3]
[tex3]k=\frac{ac}{b}[/tex3] onde K é área do triângulo MNP

Pelo teorema das bases comuns no triângulo ABC temos

[tex3]\frac{BN}{CN}=\frac{a+d}{b+c}[/tex3]

De maneira analoga no triângulo BCM

[tex3]\frac{BN}{NC}=\frac{d-\frac{ac}{b}}{c+\frac{ac}{b}}[/tex3]

Igualando a primeira com a segunda

[tex3]\frac{bd-ac}{bc+ac}=\frac{a+d}{b+c}[/tex3]

ÁLGEBRANDO

[tex3]b²d+bcd-abc-ac²=abc+bcd+a²c+acd[/tex3]

Simplificando provamos

[tex3]ac(a+2b+c+d)=b²d[/tex3] PROVED

VALE RESSALTAR COMO EXTRA

Seja S a área do triângulo então também se verifica

[tex3]ac(S+b)=b²d[/tex3]
[tex3]S=\frac{b(bd-ac)}{ac}[/tex3]



Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.

Movido de IME / ITA para Demonstrações em Dom 06 Dez, 2020 21:15 por MateusQqMD

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