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Sejam [tex3]a,b,c,d[/tex3] as áreas dos triângulos AMP, APC, PNC e do quadrilátero BMPN respectivamente ficará verificado para todo o sempre
[tex3]ac(a+2b+c+d)=b²d[/tex3]
DEMONSTRAÇÃO
Trace [tex3]MN[/tex3] pelo teorema das áreas divididas por suas diagonais teremos
[tex3]bk=ac[/tex3]
[tex3]k=\frac{ac}{b}[/tex3] onde K é área do triângulo MNP
Pelo teorema das bases comuns no triângulo ABC temos
[tex3]\frac{BN}{CN}=\frac{a+d}{b+c}[/tex3]
De maneira analoga no triângulo BCM
[tex3]\frac{BN}{NC}=\frac{d-\frac{ac}{b}}{c+\frac{ac}{b}}[/tex3]
Igualando a primeira com a segunda
[tex3]\frac{bd-ac}{bc+ac}=\frac{a+d}{b+c}[/tex3]
ÁLGEBRANDO
[tex3]b²d+bcd-abc-ac²=abc+bcd+a²c+acd[/tex3]
Simplificando provamos
[tex3]ac(a+2b+c+d)=b²d[/tex3] PROVED
VALE RESSALTAR COMO EXTRA
Seja S a área do triângulo então também se verifica
[tex3]ac(S+b)=b²d[/tex3]
[tex3]S=\frac{b(bd-ac)}{ac}[/tex3]
