Demonstrações(Demonstração) Teorema do Excentro

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jvmago
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(Demonstração) Teorema do Excentro

Mensagem não lida por jvmago »

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Este será mais um dos tópicos onde eu busco salientar e compartilhar com o mundo minhas pesquisas sobre relações geométricas que generalizam e facilitam problemas.

A seguinte demonstração será de fundamental importância para a próxima onde tratarei de trigonometria!

TEOREMA 1

Dado um triângulo ABC de lados [tex3]a,b,c[/tex3] , ao traçarmos a bissetriz [tex3]AD[/tex3] até que encontre seu Excentro [tex3]M[/tex3] , estará verificada a relação

[tex3]\frac{AM}{MD}=\frac{b+c}{a}[/tex3]

Faça [tex3]CD=n[/tex3] e teremos [tex3]BD=a-n[/tex3]

Trace CM e pelo teorema da bissetriz externa no triângulo ACD temos

[tex3]\frac{MD}{AM}=\frac{n}{b}[/tex3]

Trace AM e pelo teorema da bissetriz externa em ABD temos
[tex3]\frac{MD}{AM}=\frac{a-n}{c}[/tex3]

Pela propriedade das médias entre as duas equações nós temos

[tex3]\frac{MD}{AM}=\frac{a-n+n}{c+b}[/tex3] donde sai

[tex3]\frac{MD}{AM}=\frac{b+c}{a}[/tex3]


TEOREMA 2

[tex3]\frac{BM}{MN}=\frac{c-a}{b}[/tex3]


Pelo teorema da bissetriz interna em BCN temos

[tex3]\frac{BM}{MN}=\frac{a}{CN}[/tex3]

Pelo teorema da bissetriz interna ABN

[tex3]\frac{BM}{MN}=\frac{c}{b+CN}[/tex3]

Pelo teorema das proporções

[tex3]\frac{BM}{MN}=\frac{c-a}{b+CN-CN}[/tex3] e assim está provado

Última edição: jvmago (Dom 06 Dez, 2020 20:38). Total de 1 vez.


Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.

Movido de IME / ITA para Demonstrações em Dom 06 Dez, 2020 21:15 por MateusQqMD

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