DemonstraçõesDefinição de conjugados isogonais

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FelipeMartin
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Definição de conjugados isogonais

Mensagem não lida por FelipeMartin »

Dado um triângulo [tex3]\triangle ABC[/tex3] e, em seu interior, um ponto [tex3]X[/tex3] podemos marcar os ângulos que as retas [tex3]AX,BX[/tex3] e [tex3]CX[/tex3] fazem com os lados do triângulo [tex3]\triangle ABC[/tex3] :
isogonais1.png
isogonais1.png (27.14 KiB) Exibido 2073 vezes
[tex3]\alpha = \angle BAX, \beta = \angle CBX[/tex3] e [tex3]\gamma = \angle XCA[/tex3] .

Podemos tomar o ponto [tex3]Y \neq X[/tex3] no interior de [tex3]\triangle ABC[/tex3] tal que [tex3]YA,YB[/tex3] e [tex3]YC[/tex3] fazem os mesmos ângulos com os lados análogos de [tex3]\triangle ABC[/tex3] , da seguinte forma: se [tex3]AX[/tex3] faz um ângulo [tex3]\alpha[/tex3] com o lado [tex3]AB[/tex3] então [tex3]AY[/tex3] faz o ângulo [tex3]\alpha[/tex3] com [tex3]AC[/tex3] (vértice [tex3]A[/tex3] em comum a [tex3]AB[/tex3] e [tex3]AC[/tex3] mas trocamos [tex3]B[/tex3] por [tex3]C[/tex3] ). Analogamente para os outros vértices.
isogonais2.png
isogonais2.png (33.53 KiB) Exibido 2073 vezes
Prova que existe o ponto [tex3]Y[/tex3] :
Seja [tex3]r[/tex3] a reta que passa pelo ponto [tex3]A[/tex3] , pelo interior de [tex3]\triangle ABC[/tex3] e que faz um ângulo [tex3]\alpha[/tex3] com [tex3]AC[/tex3] .
Seja [tex3]s[/tex3] a reta que passa pelo ponto [tex3]B[/tex3] , pelo interior de [tex3]\triangle ABC[/tex3] e que faz um ângulo [tex3]\beta[/tex3] com [tex3]AB[/tex3] .
Então [tex3]Y = r \cap s[/tex3] .
Vamos mostrar que [tex3]\angle YCB = \gamma[/tex3] :
Ligue [tex3]Y[/tex3] com [tex3]C[/tex3] então o Teorema de Ceva Trigonométrico em [tex3]Y[/tex3] diz que:
[tex3]\sen (\alpha) \cdot \sen (\beta) \cdot \sen (\angle YCB) = \sen (\angle A- \alpha) \cdot \sen (\angle B - \beta) \cdot \sen ( \angle C - \angle YCB) [/tex3]
Porém o teorema de Ceva trigonométrico em [tex3]X[/tex3] diz que:
[tex3]\sen (\alpha) \cdot \sen (\beta) \cdot \sen (\gamma) = \sen (\angle A- \alpha) \cdot \sen (\angle B - \beta) \cdot \sen ( \angle C - \gamma)[/tex3]
dividindo as duas equações:
[tex3]\frac{\sen (\angle YCB )}{\sen (\gamma )} = \frac{\sen (\angle C - \angle YCB)}{\sen (\angle C - \gamma)} \iff \frac{\sen (\angle C - \gamma)}{\sen (\gamma)} = \frac{\sen(\angle C - \angle YCB)}{\sen(\angle YCB)}[/tex3] .

Por fim basta verificarmos que a função: [tex3]\frac{\sen (k-x)}{\sen (x)}[/tex3] é injetora em [tex3]x[/tex3] quando [tex3]x,k \in (0, \pi)[/tex3] .
Como:
[tex3]\frac{\sen (k -x)}{\sen (x)} = \frac{\sen (k) \cos (x) - \sen (x) \cos (k)}{\sen (x)} = \sen (k) \cotg (x) - \cos (k)[/tex3]
então [tex3]\frac{\sen (k-x) }{\sen (x)} = \frac{\sen (k-y)}{\sen (y)} \iff \sen (k) \cotg (x) - \cos (k) = \sen (k) \cotg(y) - \cos (k) \iff[/tex3]
[tex3]\iff \cotg (x) = \cotg (y) \iff x = y +k \pi, k \in \mathbb Z[/tex3] porém no intervalo [tex3](0,\pi)[/tex3] (ângulos em um triângulo) temos [tex3]k=0 \iff x=y[/tex3] .
O que significa que [tex3]\angle YCB = \gamma\,\,\,\,\,\,\, \square[/tex3] .

Chamamos o ponto [tex3]Y[/tex3] de [tex3]\color{red} \text{conjugado isogonal}[/tex3] do ponto [tex3]X[/tex3] no triângulo [tex3]\triangle ABC[/tex3] .

Não é difícil ver que as retas [tex3]AX[/tex3] e [tex3]AY[/tex3] são reflexos uma da outra em relação a bissetriz interna do [tex3]\triangle ABC[/tex3] no vértice [tex3]A[/tex3] justamente por isso o único ponto dentro de um triângulo tal que ele é igual ao próprio conjugado isogonal é o incentro do próprio triângulo.
Também é fato conhecido que ortocentro e circuncentro de um mesmo triângulo são conjugados isogonais com relação ao próprio triângulo viewtopic.php?t=43244.
Pode-se provar que a conjugação isogonal, quando encarada como uma transformação do plano, preserva a razão anarmônica constituindo-se portanto de uma involução.

Podemos estender esta definição para além do interior do triângulo [tex3]\triangle ABC[/tex3] usando a ideia de se refletir as retas [tex3]AX,BX[/tex3] e [tex3]CX[/tex3] em relação às bissetrizes internas do triângulo [tex3]\triangle ABC[/tex3] . As provas são análogas e nesta expansão é conveniente definir que os vértices [tex3]A,B[/tex3] e [tex3]C[/tex3] são seus próprios conjugados isogonais, totalizando 4 pontos no plano com essa propriedade (os três mais o incentro).

Última edição: FelipeMartin (Dom 18 Out, 2020 11:49). Total de 5 vezes.


φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.

Movido de Ensino Médio para Demonstrações em Dom 18 Out, 2020 12:31 por MateusQqMD

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Re: Definição de conjugados isogonais

Mensagem não lida por FelipeMartin »

teste................



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Re: Definição de conjugados isogonais

Mensagem não lida por FelipeMartin »

Uma prova mais geométrica da existência dos conjugados isogonais é a seguinte:
isogonaisdemo.png
isogonaisdemo.png (52.57 KiB) Exibido 1404 vezes
Seja [tex3]P[/tex3] um ponto qualquer no interior do [tex3]\angle BAC[/tex3] (possivelmente fora do [tex3]\triangle ABC[/tex3] ). Seja [tex3]\ell = \overleftrightarrow{AD}[/tex3] a reta conjugada isogonal a [tex3]AP[/tex3] em relação ao [tex3]\angle A[/tex3] no [tex3]\triangle ABC[/tex3] . Sejam [tex3]P'[/tex3] e [tex3]P'_1[/tex3] as reflexões de [tex3]P[/tex3] em relação às retas [tex3]AC[/tex3] e [tex3]AB[/tex3] respectivamente. Então, [tex3]\ell[/tex3] é a mediatriz de [tex3]P'P'_1[/tex3] .

Prova:

Sejam [tex3]P_C = PP'_1 \cap AB[/tex3] e [tex3]P_B = PP' \cap AC[/tex3] . Logo, o quadrilátero [tex3]AP_CPP_B[/tex3] é cíclico, pois [tex3]\angle AP_CP = \angle AP_BP = 90^{\circ}[/tex3] . Segue que [tex3]\angle PP_CP_B = \angle PAP_B[/tex3] , mas, por [tex3]\ell[/tex3] ser conjugada isogonal de [tex3]AP[/tex3] , então [tex3]\angle PAP_B = \angle P_CAD[/tex3] . Por fim, [tex3]\angle AP_CP_B = 90^{\circ} - \angle PP_CP_B = 90^{\circ} - \angle PAP_B = 90^{\circ} - \angle P_CAD \implies \ell \perp P_CP_B[/tex3] .

Como [tex3]P_CP_B[/tex3] é base média do [tex3]\triangle P'PP'_1[/tex3] , então [tex3]\ell \perp P'P'_1[/tex3] .

Por fim, [tex3]PA = P'A = P'_1A[/tex3] pois [tex3]P'[/tex3] e [tex3]P'_1[/tex3] são reflexões de [tex3]P[/tex3] em relações a retas que passam por [tex3]A[/tex3] , portanto, [tex3]\ell[/tex3] é a reta perpendicular a [tex3]P'P'_1[/tex3] que passa por um ponto ([tex3]A[/tex3] ) que está na mediatriz de [tex3]P'P'_1[/tex3] . Conclui-se que [tex3]\ell[/tex3] é a mediatriz de [tex3]P'P'_1[/tex3] .

A prova da existência de um conjugado isogonal para o ponto [tex3]P[/tex3] torna-se muito simples e sem a necessidade de contas: Sejam [tex3]P_a,P_b[/tex3] e [tex3]P_c[/tex3] as reflexões do ponto [tex3]P[/tex3] em relação aos lados [tex3]BC,AC[/tex3] e [tex3]AB[/tex3] respectivamente do [tex3]\triangle ABC[/tex3] . Então o conjugado isogonal de [tex3]P[/tex3] em relação ao [tex3]\triangle ABC[/tex3] é simplesmente o circuncentro do [tex3]triangle P_aP_bP_c[/tex3] , que existirá enquanto [tex3]P_a,P_b[/tex3] e [tex3]P_c[/tex3] não forem alinhados, ou seja, enquanto [tex3]P[/tex3] não estiver sobre o circuncírculo do [tex3]\triangle ABC[/tex3] (reta de Simson).



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