Dado um triângulo [tex3]\triangle ABC[/tex3]
[tex3]\alpha = \angle BAX, \beta = \angle CBX[/tex3]
e [tex3]\gamma = \angle XCA[/tex3]
.
Podemos tomar o ponto [tex3]Y \neq X[/tex3]
no interior de [tex3]\triangle ABC[/tex3]
tal que [tex3]YA,YB[/tex3]
e [tex3]YC[/tex3]
fazem os mesmos ângulos com os lados análogos de [tex3]\triangle ABC[/tex3]
, da seguinte forma: se [tex3]AX[/tex3]
faz um ângulo [tex3]\alpha[/tex3]
com o lado [tex3]AB[/tex3]
então [tex3]AY[/tex3]
faz o ângulo [tex3]\alpha[/tex3]
com [tex3]AC[/tex3]
(vértice [tex3]A[/tex3]
em comum a [tex3]AB[/tex3]
e [tex3]AC[/tex3]
mas trocamos [tex3]B[/tex3]
por [tex3]C[/tex3]
). Analogamente para os outros vértices.
Prova que existe o ponto [tex3]Y[/tex3]
:
Seja [tex3]r[/tex3]
a reta que passa pelo ponto [tex3]A[/tex3]
, pelo interior de [tex3]\triangle ABC[/tex3]
e que faz um ângulo [tex3]\alpha[/tex3]
com [tex3]AC[/tex3]
.
Seja [tex3]s[/tex3]
a reta que passa pelo ponto [tex3]B[/tex3]
, pelo interior de [tex3]\triangle ABC[/tex3]
e que faz um ângulo [tex3]\beta[/tex3]
com [tex3]AB[/tex3]
.
Então [tex3]Y = r \cap s[/tex3]
.
Vamos mostrar que [tex3]\angle YCB = \gamma[/tex3]
:
Ligue [tex3]Y[/tex3]
com [tex3]C[/tex3]
então o Teorema de Ceva Trigonométrico em [tex3]Y[/tex3]
diz que:
[tex3]\sen (\alpha) \cdot \sen (\beta) \cdot \sen (\angle YCB) = \sen (\angle A- \alpha) \cdot \sen (\angle B - \beta) \cdot \sen ( \angle C - \angle YCB) [/tex3]
Porém o teorema de Ceva trigonométrico em [tex3]X[/tex3]
diz que:
[tex3]\sen (\alpha) \cdot \sen (\beta) \cdot \sen (\gamma) = \sen (\angle A- \alpha) \cdot \sen (\angle B - \beta) \cdot \sen ( \angle C - \gamma)[/tex3]
dividindo as duas equações:
[tex3]\frac{\sen (\angle YCB )}{\sen (\gamma )} = \frac{\sen (\angle C - \angle YCB)}{\sen (\angle C - \gamma)} \iff \frac{\sen (\angle C - \gamma)}{\sen (\gamma)} = \frac{\sen(\angle C - \angle YCB)}{\sen(\angle YCB)}[/tex3]
.
Por fim basta verificarmos que a função: [tex3]\frac{\sen (k-x)}{\sen (x)}[/tex3]
é injetora em [tex3]x[/tex3]
quando [tex3]x,k \in (0, \pi)[/tex3]
.
Como:
[tex3]\frac{\sen (k -x)}{\sen (x)} = \frac{\sen (k) \cos (x) - \sen (x) \cos (k)}{\sen (x)} = \sen (k) \cotg (x) - \cos (k)[/tex3]
então [tex3]\frac{\sen (k-x) }{\sen (x)} = \frac{\sen (k-y)}{\sen (y)} \iff \sen (k) \cotg (x) - \cos (k) = \sen (k) \cotg(y) - \cos (k) \iff[/tex3]
[tex3]\iff \cotg (x) = \cotg (y) \iff x = y +k \pi, k \in \mathbb Z[/tex3]
porém no intervalo [tex3](0,\pi)[/tex3]
(ângulos em um triângulo) temos [tex3]k=0 \iff x=y[/tex3]
.
O que significa que [tex3]\angle YCB = \gamma\,\,\,\,\,\,\, \square[/tex3]
.
Chamamos o ponto [tex3]Y[/tex3]
de [tex3]\color{red} \text{conjugado isogonal}[/tex3]
do ponto [tex3]X[/tex3]
no triângulo [tex3]\triangle ABC[/tex3]
.
Não é difícil ver que as retas [tex3]AX[/tex3]
e [tex3]AY[/tex3]
são reflexos uma da outra em relação a bissetriz interna do [tex3]\triangle ABC[/tex3]
no vértice [tex3]A[/tex3]
justamente por isso o único ponto dentro de um triângulo tal que ele é igual ao próprio conjugado isogonal é o incentro do próprio triângulo.
Também é fato conhecido que ortocentro e circuncentro de um mesmo triângulo são conjugados isogonais com relação ao próprio triângulo viewtopic.php?t=43244.
Pode-se provar que a conjugação isogonal, quando encarada como uma transformação do plano, preserva a razão anarmônica constituindo-se portanto de uma involução.
Podemos estender esta definição para além do interior do triângulo [tex3]\triangle ABC[/tex3]
usando a ideia de se refletir as retas [tex3]AX,BX[/tex3]
e [tex3]CX[/tex3]
em relação às bissetrizes internas do triângulo [tex3]\triangle ABC[/tex3]
. As provas são análogas e nesta expansão é conveniente definir que os vértices [tex3]A,B[/tex3]
e [tex3]C[/tex3]
são seus próprios conjugados isogonais, totalizando 4 pontos no plano com essa propriedade (os três mais o incentro).
e, em seu interior, um ponto [tex3]X[/tex3]
podemos marcar os ângulos que as retas [tex3]AX,BX[/tex3]
e [tex3]CX[/tex3]
fazem com os lados do triângulo [tex3]\triangle ABC[/tex3]
:Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
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Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Demonstrações ⇒ Definição de conjugados isogonais
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Out 2020
18
07:17
Definição de conjugados isogonais
Editado pela última vez por FelipeMartin em 18 Out 2020, 11:49, em um total de 5 vezes.
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
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Fev 2022
03
07:09
Re: Definição de conjugados isogonais
teste................
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Fev 2022
03
07:42
Re: Definição de conjugados isogonais
Uma prova mais geométrica da existência dos conjugados isogonais é a seguinte:
Seja [tex3]P[/tex3] um ponto qualquer no interior do [tex3]\angle BAC[/tex3] (possivelmente fora do [tex3]\triangle ABC[/tex3] ). Seja [tex3]\ell = \overleftrightarrow{AD}[/tex3] a reta conjugada isogonal a [tex3]AP[/tex3] em relação ao [tex3]\angle A[/tex3] no [tex3]\triangle ABC[/tex3] . Sejam [tex3]P'[/tex3] e [tex3]P'_1[/tex3] as reflexões de [tex3]P[/tex3] em relação às retas [tex3]AC[/tex3] e [tex3]AB[/tex3] respectivamente. Então, [tex3]\ell[/tex3] é a mediatriz de [tex3]P'P'_1[/tex3] .
Prova:
Sejam [tex3]P_C = PP'_1 \cap AB[/tex3] e [tex3]P_B = PP' \cap AC[/tex3] . Logo, o quadrilátero [tex3]AP_CPP_B[/tex3] é cíclico, pois [tex3]\angle AP_CP = \angle AP_BP = 90^{\circ}[/tex3] . Segue que [tex3]\angle PP_CP_B = \angle PAP_B[/tex3] , mas, por [tex3]\ell[/tex3] ser conjugada isogonal de [tex3]AP[/tex3] , então [tex3]\angle PAP_B = \angle P_CAD[/tex3] . Por fim, [tex3]\angle AP_CP_B = 90^{\circ} - \angle PP_CP_B = 90^{\circ} - \angle PAP_B = 90^{\circ} - \angle P_CAD \implies \ell \perp P_CP_B[/tex3] .
Como [tex3]P_CP_B[/tex3] é base média do [tex3]\triangle P'PP'_1[/tex3] , então [tex3]\ell \perp P'P'_1[/tex3] .
Por fim, [tex3]PA = P'A = P'_1A[/tex3] pois [tex3]P'[/tex3] e [tex3]P'_1[/tex3] são reflexões de [tex3]P[/tex3] em relações a retas que passam por [tex3]A[/tex3] , portanto, [tex3]\ell[/tex3] é a reta perpendicular a [tex3]P'P'_1[/tex3] que passa por um ponto ([tex3]A[/tex3] ) que está na mediatriz de [tex3]P'P'_1[/tex3] . Conclui-se que [tex3]\ell[/tex3] é a mediatriz de [tex3]P'P'_1[/tex3] .
A prova da existência de um conjugado isogonal para o ponto [tex3]P[/tex3] torna-se muito simples e sem a necessidade de contas: Sejam [tex3]P_a,P_b[/tex3] e [tex3]P_c[/tex3] as reflexões do ponto [tex3]P[/tex3] em relação aos lados [tex3]BC,AC[/tex3] e [tex3]AB[/tex3] respectivamente do [tex3]\triangle ABC[/tex3] . Então o conjugado isogonal de [tex3]P[/tex3] em relação ao [tex3]\triangle ABC[/tex3] é simplesmente o circuncentro do [tex3]triangle P_aP_bP_c[/tex3] , que existirá enquanto [tex3]P_a,P_b[/tex3] e [tex3]P_c[/tex3] não forem alinhados, ou seja, enquanto [tex3]P[/tex3] não estiver sobre o circuncírculo do [tex3]\triangle ABC[/tex3] (reta de Simson).
Seja [tex3]P[/tex3] um ponto qualquer no interior do [tex3]\angle BAC[/tex3] (possivelmente fora do [tex3]\triangle ABC[/tex3] ). Seja [tex3]\ell = \overleftrightarrow{AD}[/tex3] a reta conjugada isogonal a [tex3]AP[/tex3] em relação ao [tex3]\angle A[/tex3] no [tex3]\triangle ABC[/tex3] . Sejam [tex3]P'[/tex3] e [tex3]P'_1[/tex3] as reflexões de [tex3]P[/tex3] em relação às retas [tex3]AC[/tex3] e [tex3]AB[/tex3] respectivamente. Então, [tex3]\ell[/tex3] é a mediatriz de [tex3]P'P'_1[/tex3] .
Prova:
Sejam [tex3]P_C = PP'_1 \cap AB[/tex3] e [tex3]P_B = PP' \cap AC[/tex3] . Logo, o quadrilátero [tex3]AP_CPP_B[/tex3] é cíclico, pois [tex3]\angle AP_CP = \angle AP_BP = 90^{\circ}[/tex3] . Segue que [tex3]\angle PP_CP_B = \angle PAP_B[/tex3] , mas, por [tex3]\ell[/tex3] ser conjugada isogonal de [tex3]AP[/tex3] , então [tex3]\angle PAP_B = \angle P_CAD[/tex3] . Por fim, [tex3]\angle AP_CP_B = 90^{\circ} - \angle PP_CP_B = 90^{\circ} - \angle PAP_B = 90^{\circ} - \angle P_CAD \implies \ell \perp P_CP_B[/tex3] .
Como [tex3]P_CP_B[/tex3] é base média do [tex3]\triangle P'PP'_1[/tex3] , então [tex3]\ell \perp P'P'_1[/tex3] .
Por fim, [tex3]PA = P'A = P'_1A[/tex3] pois [tex3]P'[/tex3] e [tex3]P'_1[/tex3] são reflexões de [tex3]P[/tex3] em relações a retas que passam por [tex3]A[/tex3] , portanto, [tex3]\ell[/tex3] é a reta perpendicular a [tex3]P'P'_1[/tex3] que passa por um ponto ([tex3]A[/tex3] ) que está na mediatriz de [tex3]P'P'_1[/tex3] . Conclui-se que [tex3]\ell[/tex3] é a mediatriz de [tex3]P'P'_1[/tex3] .
A prova da existência de um conjugado isogonal para o ponto [tex3]P[/tex3] torna-se muito simples e sem a necessidade de contas: Sejam [tex3]P_a,P_b[/tex3] e [tex3]P_c[/tex3] as reflexões do ponto [tex3]P[/tex3] em relação aos lados [tex3]BC,AC[/tex3] e [tex3]AB[/tex3] respectivamente do [tex3]\triangle ABC[/tex3] . Então o conjugado isogonal de [tex3]P[/tex3] em relação ao [tex3]\triangle ABC[/tex3] é simplesmente o circuncentro do [tex3]triangle P_aP_bP_c[/tex3] , que existirá enquanto [tex3]P_a,P_b[/tex3] e [tex3]P_c[/tex3] não forem alinhados, ou seja, enquanto [tex3]P[/tex3] não estiver sobre o circuncírculo do [tex3]\triangle ABC[/tex3] (reta de Simson).
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