Olá, Comunidade!

Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).

Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero 🙏)

Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!

Vamos crescer essa comunidade juntos 🥰

Grande abraço a todos,
Prof. Caju

Demonstrações ⇒ Técnica olímpica - Teorema de Wilson estendido

Fórum de coletânea das melhores demonstrações de teoremas de matemática.
Se você quiser postar uma demonstração aqui, poste, inicialmente, no fórum correspondente utilizando o título "Demonstração Teorema X" e substitua com o nome do teorema/fórmula que você postou e, depois, envie o link para um moderador pedindo para sua mensagem ser movida para o fórum "Demonstrações". Somente moderadores poderão mover sua mensagem para este fórum.

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Ittalo25
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Set 2020 03 20:19

Técnica olímpica - Teorema de Wilson estendido

Mensagem não lida por Ittalo25 »

É um fato bem conhecido que se p é primo então: [tex3](p-1)! \equiv -1 \mod(p) [/tex3] , mas algo pouco comentado é que se n é composto e diferente de 4, então [tex3](n-1)! \equiv 0 \mod(n) [/tex3] . Primeiro vamos a conceitos básicos:

"a" é dito inverso de "b" módulo k, se [tex3]ab \equiv 1 \mod(k) [/tex3].

"a" tem inverso módulo "k", se e somente se [tex3]mdc(a,k) = 1 [/tex3]
Demonstração:
Resposta
Primeiro a volta: [tex3]mdc(a,k) = 1 [/tex3] , então pelo teorema de Bezout existem inteiros x e y tais que: [tex3]ax+ky = 1 [/tex3]
Olhando essa expressão módulo k, temos que: [tex3]ax \equiv 1 \mod(k) [/tex3] e está feito.

Agora a ida: Existe b tal que: [tex3]ab \equiv 1 \mod(k) [/tex3] , ou seja, existe x inteiro tal que: [tex3]ab -1=kx [/tex3]
Seja [tex3]d = mdc(a,k) [/tex3] , então [tex3]d|ab [/tex3] , [tex3]d|kx [/tex3] e portanto [tex3]d|1\rightarrow \boxed{d = 1} [/tex3]
Os inversos são únicos módulo p primo
Demonstração:
Resposta
Sejam a,b,c<p tais que: [tex3]\begin{cases}
ab\equiv 1 \mod(p) \\
ac \equiv 1 \mod(p)
\end{cases}[/tex3] , então [tex3]a\cdot (b-c) \equiv 0 \mod(p) [/tex3] , ou seja: [tex3]b\equiv c \mod(p) [/tex3]
Nas classes de congruência módulo p, apenas [tex3]1 [/tex3] e [tex3]p-1 [/tex3] são inversos de si mesmos:
Demonstração:
Resposta
Se a<p tal que [tex3]a^2 \equiv 1 \mod(p)\rightarrow (a-1)\cdot (a+1)\equiv 0 \mod(p) [/tex3] , portanto ou [tex3]a\equiv 1 \mod(p) [/tex3] ou [tex3]a\equiv p-1 \mod(p) [/tex3]
Teorema de Wilson diz que se p é primo, então: [tex3](p-1)! \equiv -1 \mod(p) [/tex3]
Demonstração:
Resposta
[tex3](p-1)! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot .... (p-1) \equiv 1 \cdot (p-1) \equiv -1 \mod(p)[/tex3]
Teorema de Wilson estendido diz que se n é composto e diferente de 4, então [tex3](n-1)! \equiv 0 \mod(n) [/tex3]
Demonstração:
Resposta
Primeiro caso, se n=ab, onde [tex3]2\leq a < b \leq n-2 [/tex3] , então a e b aparecem no produto [tex3](n-1)! [/tex3] e está provado. Segundo caso, se n não pode ser fatorado dessa forma, então [tex3]n = p^2 [/tex3] para algum primo p>2. Mas sendo assim, então: [tex3]2p<p^2=n [/tex3] , ou seja, p e 2p aparecem no produto [tex3](n-1)![/tex3] e está provado.
Editado pela última vez por Ittalo25 em 15 Out 2020, 14:56, em um total de 2 vezes.
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