Técnica olímpica - Lema da ceviana qualquer
Enviado: Qui 03 Set, 2020 19:12
Depois de 3 anos vai mais um tópico desses, como o tempo passa rápido 
Aceito sugestões por mensagem privada.
Seja ABC um triângulo qualquer e a ceviana AP com P em BC, então vale que:
[tex3]\frac{BP}{PC} = \frac{AB \cdot sen(BAP)}{AC\cdot sen(CAP)}[/tex3]
Demonstração:
Lei dos senos em BAP:
[tex3]\frac{BP}{sen(BAP)} = \frac{AB}{sen(BPA)} \rightarrow sen(BPA) = \frac{AB \cdot sen(BAP)}{BP}[/tex3]
Lei dos senos em CAP:
[tex3]\frac{CP}{sen(CAP)} = \frac{AC}{sen(CPA)}\rightarrow sen(CPA) = \frac{AC\cdot sen(CAP)}{CP}[/tex3]
Mas [tex3]sen(CPA) = sen(BPA) [/tex3] , já que são ângulos suplementares. Então:
[tex3]\frac{AB \cdot sen(BAP)}{BP} = \frac{AC\cdot sen(CAP)}{CP}[/tex3]
[tex3]\frac{BP}{PC} = \frac{AB \cdot sen(BAP))}{AC\cdot sen(CAP)}[/tex3]
Aceito sugestões por mensagem privada.
- qualquer.png (18.68 KiB) Exibido 2213 vezes
[tex3]\frac{BP}{PC} = \frac{AB \cdot sen(BAP)}{AC\cdot sen(CAP)}[/tex3]
Demonstração:
Resposta
Lei dos senos em BAP:
[tex3]\frac{BP}{sen(BAP)} = \frac{AB}{sen(BPA)} \rightarrow sen(BPA) = \frac{AB \cdot sen(BAP)}{BP}[/tex3]
Lei dos senos em CAP:
[tex3]\frac{CP}{sen(CAP)} = \frac{AC}{sen(CPA)}\rightarrow sen(CPA) = \frac{AC\cdot sen(CAP)}{CP}[/tex3]
Mas [tex3]sen(CPA) = sen(BPA) [/tex3] , já que são ângulos suplementares. Então:
[tex3]\frac{AB \cdot sen(BAP)}{BP} = \frac{AC\cdot sen(CAP)}{CP}[/tex3]
[tex3]\frac{BP}{PC} = \frac{AB \cdot sen(BAP))}{AC\cdot sen(CAP)}[/tex3]