DemonstraçõesDemonstração teorema de Reim

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FelipeMartin
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Set 2020 01 11:28

Demonstração teorema de Reim

Mensagem não lida por FelipeMartin »

O teorema de Reim é um teorema muito simples, mas muito conveniente e geral que frequentemente é utilizado na resolução de problemas. Seu enunciado é o seguinte:

Deixe dois círculos [tex3]c_1[/tex3] e [tex3]c_2[/tex3] se cruzarem nos pontos [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3] . Se os pontos(distintos) [tex3]C[/tex3] e [tex3]D[/tex3] estiverem sobre [tex3]c_1[/tex3] e os pontos(distintos) [tex3]E[/tex3] e [tex3]F[/tex3] em [tex3]c_2[/tex3] tais que [tex3]C,A,E[/tex3] são alinhados bem como [tex3]D,B,F[/tex3] também o são. Então as retas [tex3]CD[/tex3] e [tex3]EF[/tex3] são paralelas.

Farei a prova deste simples teorema para um caso mais geral onde os centros de [tex3]c_1[/tex3] e [tex3]c_2[/tex3] estão em semi-planos opostos da reta [tex3]AB[/tex3] e depois comentarei algumas variações:
reim.png
reim.png (31.99 KiB) Exibido 1527 vezes
Veja que como o quadrilátero [tex3]CDAB[/tex3] é cíclico (pois seus vértices estão em [tex3]c_1[/tex3] ) então [tex3]\angle DCA + \angle ABD = 180^{\circ} \iff \angle DCA = 180^{\circ} - \angle ABD = \angle ABF[/tex3] (pois [tex3]D,B,F[/tex3] são alinhados).
Analogamente [tex3]ABFE[/tex3] é cíclico então [tex3]\angle ABF + \angle FEA = 180^{\circ} \iff \angle DCA + \angle AEF = 180^{\circ}[/tex3] isto implica que as retas [tex3]CD[/tex3] e [tex3]EF[/tex3] fazem os mesmos ângulos com a reta [tex3]C,A,E[/tex3] o que significa que [tex3]CD[/tex3] e [tex3]EF[/tex3] são paralelas.

Conforme dito, este teorema e suas variações aparecem frequentemente. Uma variação possível é quando o ponto [tex3]D[/tex3] se degenera no ponto [tex3]C[/tex3] neste caso a reta [tex3]CD[/tex3] é substituída pela reta tangente a [tex3]c_1[/tex3] em [tex3]C[/tex3] e não é difícil de verificar que o teorema se mantém verdadeiro: Sendo [tex3]\alpha[/tex3] o menor ângulo entre a tangente em [tex3]C[/tex3] e a reta [tex3]CA[/tex3] então por conta do ângulo de segemento [tex3]\angle ABC = \alpha[/tex3] e porque [tex3]ABFE[/tex3] é cíclico [tex3]\angle AEF = \angle ABC = \alpha[/tex3] novamente [tex3]EF[/tex3] e a tangente em [tex3]C[/tex3] fazem os mesmos ângulos com [tex3]AE[/tex3] .
Outra variação é quando os centros estão no mesmo semi-plano definido pela reta [tex3]AB[/tex3] mas a prova é análoga basta a constatação dos dois quadriláteros cíclicos [tex3]ABDC[/tex3] e [tex3]ABFE[/tex3] e fazer a mesma álgebra com os ângulos feita acima.

As recíprocas deste teorema também são válidas:
recíproca 1:

Dado um quadrilátero cíclico [tex3]ABDC[/tex3] e os pontos [tex3]E[/tex3] e [tex3]F[/tex3] nas extensões das semi-retas [tex3]CA[/tex3] e [tex3]DB[/tex3] respectivamente se [tex3]EF \parallel CD[/tex3] então [tex3]ABFE[/tex3] também é cíclico.
recíproca 2:

Deixe dois círculos [tex3]c_1[/tex3] e [tex3]c_2[/tex3] se cruzarem nos pontos [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3] . Se os pontos(distintos) [tex3]C[/tex3] e [tex3]D[/tex3] estiverem sobre [tex3]c_1[/tex3] e os pontos(distintos) [tex3]E[/tex3] e [tex3]F[/tex3] em [tex3]c_2[/tex3] tais que [tex3]C,A,E[/tex3] são alinhados e [tex3]CD \parallel EF[/tex3] então [tex3]F,B,D[/tex3] são alinhados.
A prova é muito simples: deixe a linha [tex3]DB[/tex3] encontrar [tex3]c_2[/tex3] nos pontos [tex3]B[/tex3] e [tex3]F'[/tex3] então do teorema de Reim [tex3]EF' \parallel CD \parallel EF[/tex3] mais isso só é possível se [tex3]F'[/tex3] estiver na linha [tex3]EF[/tex3] então [tex3]F=F'[/tex3] (do contrário o círculo [tex3]c_2[/tex3] cruzaria a reta [tex3]EF[/tex3] em três pontos distintos, absurdo).



φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.

Movido de Ensino Médio para Demonstrações em Ter 01 Set, 2020 16:18 por Ittalo25

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