)
Deixe dois círculos [tex3]c_1[/tex3] e [tex3]c_2[/tex3] se cruzarem nos pontos [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3] . Se os pontos(distintos) [tex3]C[/tex3] e [tex3]D[/tex3] estiverem sobre [tex3]c_1[/tex3] e os pontos(distintos) [tex3]E[/tex3] e [tex3]F[/tex3] em [tex3]c_2[/tex3] tais que [tex3]C,A,E[/tex3] são alinhados bem como [tex3]D,B,F[/tex3] também o são. Então as retas [tex3]CD[/tex3] e [tex3]EF[/tex3] são paralelas.
Farei a prova deste simples teorema para um caso mais geral onde os centros de [tex3]c_1[/tex3] e [tex3]c_2[/tex3] estão em semi-planos opostos da reta [tex3]AB[/tex3] e depois comentarei algumas variações:
- reim.png (31.99 KiB) Exibido 1615 vezes
Analogamente [tex3]ABFE[/tex3] é cíclico então [tex3]\angle ABF + \angle FEA = 180^{\circ} \iff \angle DCA + \angle AEF = 180^{\circ}[/tex3] isto implica que as retas [tex3]CD[/tex3] e [tex3]EF[/tex3] fazem os mesmos ângulos com a reta [tex3]C,A,E[/tex3] o que significa que [tex3]CD[/tex3] e [tex3]EF[/tex3] são paralelas.
Conforme dito, este teorema e suas variações aparecem frequentemente. Uma variação possível é quando o ponto [tex3]D[/tex3] se degenera no ponto [tex3]C[/tex3] neste caso a reta [tex3]CD[/tex3] é substituída pela reta tangente a [tex3]c_1[/tex3] em [tex3]C[/tex3] e não é difícil de verificar que o teorema se mantém verdadeiro: Sendo [tex3]\alpha[/tex3] o menor ângulo entre a tangente em [tex3]C[/tex3] e a reta [tex3]CA[/tex3] então por conta do ângulo de segemento [tex3]\angle ABC = \alpha[/tex3] e porque [tex3]ABFE[/tex3] é cíclico [tex3]\angle AEF = \angle ABC = \alpha[/tex3] novamente [tex3]EF[/tex3] e a tangente em [tex3]C[/tex3] fazem os mesmos ângulos com [tex3]AE[/tex3] .
Outra variação é quando os centros estão no mesmo semi-plano definido pela reta [tex3]AB[/tex3] mas a prova é análoga basta a constatação dos dois quadriláteros cíclicos [tex3]ABDC[/tex3] e [tex3]ABFE[/tex3] e fazer a mesma álgebra com os ângulos feita acima.
As recíprocas deste teorema também são válidas:
recíproca 1:
Dado um quadrilátero cíclico [tex3]ABDC[/tex3] e os pontos [tex3]E[/tex3] e [tex3]F[/tex3] nas extensões das semi-retas [tex3]CA[/tex3] e [tex3]DB[/tex3] respectivamente se [tex3]EF \parallel CD[/tex3] então [tex3]ABFE[/tex3] também é cíclico.
recíproca 2:
Deixe dois círculos [tex3]c_1[/tex3] e [tex3]c_2[/tex3] se cruzarem nos pontos [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3] . Se os pontos(distintos) [tex3]C[/tex3] e [tex3]D[/tex3] estiverem sobre [tex3]c_1[/tex3] e os pontos(distintos) [tex3]E[/tex3] e [tex3]F[/tex3] em [tex3]c_2[/tex3] tais que [tex3]C,A,E[/tex3] são alinhados e [tex3]CD \parallel EF[/tex3] então [tex3]F,B,D[/tex3] são alinhados.
A prova é muito simples: deixe a linha [tex3]DB[/tex3] encontrar [tex3]c_2[/tex3] nos pontos [tex3]B[/tex3] e [tex3]F'[/tex3] então do teorema de Reim [tex3]EF' \parallel CD \parallel EF[/tex3] mais isso só é possível se [tex3]F'[/tex3] estiver na linha [tex3]EF[/tex3] então [tex3]F=F'[/tex3] (do contrário o círculo [tex3]c_2[/tex3] cruzaria a reta [tex3]EF[/tex3] em três pontos distintos, absurdo).
