)
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Na figura:
[tex3]A = \gamma_1 \cap r[/tex3] .
[tex3]B = \gamma_2 \cap r[/tex3] .
[tex3]C[/tex3] é o antípoda de [tex3]A[/tex3] em [tex3]\gamma_1[/tex3] .
[tex3]D[/tex3] é o antípoda de [tex3]B[/tex3] em [tex3]\gamma_2[/tex3] .
[tex3]T = \gamma_1 \cap \gamma_2[/tex3] .
[tex3]E = \gamma \cap \gamma_2[/tex3] .
[tex3]F = \gamma \cap r[/tex3] .
Teorema 1: [tex3]C,T,B[/tex3] são alinhados.
Prova: [tex3]\gamma_1[/tex3] e [tex3]\gamma_2[/tex3] são homotéticos por [tex3]T[/tex3] , como as retas tangentes em [tex3]B[/tex3] (em [tex3]\gamma_2[/tex3] ) e em [tex3]C[/tex3] (em [tex3]\gamma_1[/tex3] ) são paralelas entre si por serem paralelas a [tex3]r[/tex3] então a homotetia leva [tex3]B[/tex3] em [tex3]C[/tex3] e vice-versa (Lema 3 do tópico de homotetia), logo [tex3]C,T,B[/tex3] são alinhados.
Teorema 2: [tex3]\overline{CE} = \overline{CA}[/tex3].
Prova: Seja [tex3]c[/tex3] o círculo centrado em [tex3]C[/tex3] passando por [tex3]A[/tex3] . Vamos considerar a inversão de [tex3]\gamma_1[/tex3] com relação ao círculo [tex3]c[/tex3] : segundo o item 13 daqui temos que o inverso de [tex3]\gamma_1[/tex3] é uma reta passando por [tex3]A[/tex3] perpendicular a [tex3]AC[/tex3] ou seja: [tex3]r[/tex3] . Então [tex3]\gamma_1[/tex3] será transformado em [tex3]r[/tex3] e a reta [tex3]r[/tex3] será transformada em [tex3]\gamma_1[/tex3] . Do item 14 sabemos que o inverso de [tex3]\gamma_2[/tex3] será um círculo e do alinhamento de [tex3]C,T,B[/tex3] só podemos ter que a imagem de [tex3]B[/tex3] é [tex3]T[/tex3] e vice-versa o que implica que [tex3]\gamma_2[/tex3] é inalterado durante a inversão pois ainda é um círculo tangente a [tex3]r[/tex3] e [tex3]\gamma_1[/tex3] passando por [tex3]B[/tex3] e [tex3]T[/tex3] . Sendo assim, [tex3]\overline{CT} \cdot \overline{CB} = r_c^2 = \overline{CA}^2 = (2R_1)^2[/tex3] .
A inversão também preserva [tex3]\gamma[/tex3] pois preserva as tangências e preservou [tex3]r,\gamma_1[/tex3] e [tex3]\gamma_2[/tex3] . Logo o ponto de contato de [tex3]\gamma \cap \gamma_2 = E[/tex3] é preservado na inversão mas os únicos pontos que não se movem na troca estão sobre o círculo. Logo [tex3]E \in c \iff \overline{CE} = \overline{CA} = 2R_1[/tex3] .
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Resposta
Este resultado pode ser interpretado como uma extensão do resultado obtido em uma cadeia de círculos tangentes como os da figura:
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