)
Seja [tex3]S_k=x_1^k+x_2^k+x_3^k+...+x_n^k[/tex3] as Somas de Newton quando [tex3]x_1,x_2,x_3,...,x_n[/tex3] são as raízes de um polinômio [tex3]P(x)[/tex3] temos que ao dividir a derivada desse polinômio pelo polinômio original , iremos obter o seguinte resultado como quociente, revelando uma maneira prática de encontrar as somas de Newton:
[tex3]\frac{S_0}{x}+\frac{S_1}{x^2}+\frac{S_2}{x^3}+\frac{S_3}{x^4}+...[/tex3]
Demonstração:
Fatorando [tex3]P(x)[/tex3] teremos:
[tex3]P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n)\\a\rightarrow \text{Coeficiente líder}[/tex3]
Aplicando o logaritmo neperiano dos dois lados da igualdade , considerando que todas as parcelas [tex3](x-x_k)[/tex3] são positivas ( Caso houvesse uma quantidade ímpar de fatores [tex3](x-x_k)[/tex3] negativos poderíamos manipular multiplicando por -1 dos dois lados até chegar em algo que é positivo dos dois lados e aplicar a propriedade a seguir de logaritmo.
[tex3]ln[P(x)]=ln(x-x_1)+ln(x-x_2)+...+ln(x-x_n)[/tex3]
Derivando dos dois lados temos
[tex3]\frac{P'(x)}{P(x)}=\frac{1}{(x-x_1)}+\frac{1}{(x-x_2)}+...+\frac{1}{(x-x_n)}[/tex3]
Manipulando um pouco:
[tex3]\frac{P'(x)}{P(x)}=\frac{\frac{1}{x}}{(1-\frac{x_1}{x})}+\frac{\frac{1}{x}}{(1-\frac{x_2}{x})}+...+\frac{\frac{1}{x}}{(1-\frac{x_n}{x})}[/tex3]
Perceba que cada parcela do lado direito da igualdade pode ser transformada em uma soma de P.G infinita, pois
[tex3]x>x_k\rightarrow \frac{x_k}{x}<1\rightarrow razão[/tex3]
[tex3]\frac{P'(x)}{P(x)}=\left[\frac{1}{x}+\frac{x_1}{x^2}+\frac{x_1^2}{x^3}+...\right]+\left[\frac{1}{x}+\frac{x_2}{x^2}+\frac{x_2^2}{x^3}+...\right]+...+\left[\frac{1}{x}+\frac{x_n}{x^2}+\frac{x_n^2}{x^3}+...\right][/tex3]
Agrupando para facilitar a visualização :
[tex3]\frac{P'(x)}{P(x)}=\underbrace{\left[\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+...+\frac{1}{x}\right]}+\left[\frac{x_1}{x^2}+\frac{x_2}{x^2}+...+\frac{x_n}{x^2}\right]+...+\left[\frac{x_1^n}{x^{n+1}}+\frac{x_2^n}{x^{n+1}}+...+\frac{x_n^n}{x^{n+1}}\right]+...\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n \ \ \text{termos} [/tex3]
Veja que o que está nos colchetes é exatamente o que o teorema nos diz
[tex3]\frac{S_0}{x}+\frac{S_1}{x^2}+\frac{S_2}{x^3}+\frac{S_3}{x^4}+...[/tex3]
