DemonstraçõesDemonstração - Teorema de Girard

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Jvrextrue13
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Demonstração - Teorema de Girard

Mensagem não lida por Jvrextrue13 »

Teorema de Girard

Seja [tex3]S_k=x_1^k+x_2^k+x_3^k+...+x_n^k[/tex3] as Somas de Newton quando [tex3]x_1,x_2,x_3,...,x_n[/tex3] são as raízes de um polinômio [tex3]P(x)[/tex3] temos que ao dividir a derivada desse polinômio pelo polinômio original , iremos obter o seguinte resultado como quociente, revelando uma maneira prática de encontrar as somas de Newton:
[tex3]\frac{S_0}{x}+\frac{S_1}{x^2}+\frac{S_2}{x^3}+\frac{S_3}{x^4}+...[/tex3]


Demonstração:
Fatorando [tex3]P(x)[/tex3] teremos:
[tex3]P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n)\\a\rightarrow \text{Coeficiente líder}[/tex3]

Aplicando o logaritmo neperiano dos dois lados da igualdade , considerando que todas as parcelas [tex3](x-x_k)[/tex3] são positivas ( Caso houvesse uma quantidade ímpar de fatores [tex3](x-x_k)[/tex3] negativos poderíamos manipular multiplicando por -1 dos dois lados até chegar em algo que é positivo dos dois lados e aplicar a propriedade a seguir de logaritmo.

[tex3]ln[P(x)]=ln(x-x_1)+ln(x-x_2)+...+ln(x-x_n)[/tex3]
Derivando dos dois lados temos
[tex3]\frac{P'(x)}{P(x)}=\frac{1}{(x-x_1)}+\frac{1}{(x-x_2)}+...+\frac{1}{(x-x_n)}[/tex3]

Manipulando um pouco:
[tex3]\frac{P'(x)}{P(x)}=\frac{\frac{1}{x}}{(1-\frac{x_1}{x})}+\frac{\frac{1}{x}}{(1-\frac{x_2}{x})}+...+\frac{\frac{1}{x}}{(1-\frac{x_n}{x})}[/tex3]

Perceba que cada parcela do lado direito da igualdade pode ser transformada em uma soma de P.G infinita, pois
[tex3]x>x_k\rightarrow \frac{x_k}{x}<1\rightarrow razão[/tex3]

[tex3]\frac{P'(x)}{P(x)}=\left[\frac{1}{x}+\frac{x_1}{x^2}+\frac{x_1^2}{x^3}+...\right]+\left[\frac{1}{x}+\frac{x_2}{x^2}+\frac{x_2^2}{x^3}+...\right]+...+\left[\frac{1}{x}+\frac{x_n}{x^2}+\frac{x_n^2}{x^3}+...\right][/tex3]

Agrupando para facilitar a visualização :
[tex3]\frac{P'(x)}{P(x)}=\underbrace{\left[\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+...+\frac{1}{x}\right]}+\left[\frac{x_1}{x^2}+\frac{x_2}{x^2}+...+\frac{x_n}{x^2}\right]+...+\left[\frac{x_1^n}{x^{n+1}}+\frac{x_2^n}{x^{n+1}}+...+\frac{x_n^n}{x^{n+1}}\right]+...\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n \ \ \text{termos} [/tex3]

Veja que o que está nos colchetes é exatamente o que o teorema nos diz :D
[tex3]\frac{S_0}{x}+\frac{S_1}{x^2}+\frac{S_2}{x^3}+\frac{S_3}{x^4}+...[/tex3]

Última edição: Jvrextrue13 (Sex 31 Jul, 2020 16:26). Total de 1 vez.


Ensinar/ajudar é uma das melhores formas de fixar o que já foi estudado :D

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jrneliodias
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Jul 2020 31 16:20

Re: Demonstração - Teorema de Girard

Mensagem não lida por jrneliodias »

Não entendi, você está demonstrando o Teorema de Girard ou as Somas de Newton?



Para alcançar um objetivo, não procure motivação, busque a disciplina. Ela que irá fazer você levantar todos os dias para realizar seus sonhos. A motivação é o resultado, é o que sente no final do dia, quando deitar sua cabeça no travesseiro.

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Jvrextrue13
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Re: Demonstração - Teorema de Girard

Mensagem não lida por Jvrextrue13 »

Eu tava estudando e me deparei com esse teorema, ai quis compartilhar. No caso ele diz que podemos obter as somas de newton dividindo a derivada de um polinômio pelo polinomio original usando o método algébrico. Ai eu no caso a msg foi provando que realmente a divisão da derivada pelo polinomio original realmente da aquele resultado.que é o quociente da divisão.



Ensinar/ajudar é uma das melhores formas de fixar o que já foi estudado :D

Movido de IME / ITA para Demonstrações em Sáb 01 Ago, 2020 13:35 por Ittalo25

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