Teorema de Girard
Seja [tex3]S_k=x_1^k+x_2^k+x_3^k+...+x_n^k[/tex3]
as Somas de Newton quando [tex3]x_1,x_2,x_3,...,x_n[/tex3]
são as raízes de um polinômio [tex3]P(x)[/tex3]
temos que ao dividir a derivada desse polinômio pelo polinômio original , iremos obter o seguinte resultado como quociente, revelando uma maneira prática de encontrar as somas de Newton:
[tex3]\frac{S_0}{x}+\frac{S_1}{x^2}+\frac{S_2}{x^3}+\frac{S_3}{x^4}+...[/tex3]
Demonstração:
Fatorando [tex3]P(x)[/tex3]
teremos:
[tex3]P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n)\\a\rightarrow \text{Coeficiente líder}[/tex3]
Aplicando o logaritmo neperiano dos dois lados da igualdade , considerando que todas as parcelas [tex3](x-x_k)[/tex3]
são positivas ( Caso houvesse uma quantidade ímpar de fatores [tex3](x-x_k)[/tex3]
negativos poderíamos manipular multiplicando por -1 dos dois lados até chegar em algo que é positivo dos dois lados e aplicar a propriedade a seguir de logaritmo.
[tex3]ln[P(x)]=ln(x-x_1)+ln(x-x_2)+...+ln(x-x_n)[/tex3]
Derivando dos dois lados temos
[tex3]\frac{P'(x)}{P(x)}=\frac{1}{(x-x_1)}+\frac{1}{(x-x_2)}+...+\frac{1}{(x-x_n)}[/tex3]
Manipulando um pouco:
[tex3]\frac{P'(x)}{P(x)}=\frac{\frac{1}{x}}{(1-\frac{x_1}{x})}+\frac{\frac{1}{x}}{(1-\frac{x_2}{x})}+...+\frac{\frac{1}{x}}{(1-\frac{x_n}{x})}[/tex3]
Perceba que cada parcela do lado direito da igualdade pode ser transformada em uma soma de P.G infinita, pois
[tex3]x>x_k\rightarrow \frac{x_k}{x}<1\rightarrow razão[/tex3]
[tex3]\frac{P'(x)}{P(x)}=\left[\frac{1}{x}+\frac{x_1}{x^2}+\frac{x_1^2}{x^3}+...\right]+\left[\frac{1}{x}+\frac{x_2}{x^2}+\frac{x_2^2}{x^3}+...\right]+...+\left[\frac{1}{x}+\frac{x_n}{x^2}+\frac{x_n^2}{x^3}+...\right][/tex3]
Agrupando para facilitar a visualização :
[tex3]\frac{P'(x)}{P(x)}=\underbrace{\left[\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+...+\frac{1}{x}\right]}+\left[\frac{x_1}{x^2}+\frac{x_2}{x^2}+...+\frac{x_n}{x^2}\right]+...+\left[\frac{x_1^n}{x^{n+1}}+\frac{x_2^n}{x^{n+1}}+...+\frac{x_n^n}{x^{n+1}}\right]+...\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n \ \ \text{termos} [/tex3]
Veja que o que está nos colchetes é exatamente o que o teorema nos diz
[tex3]\frac{S_0}{x}+\frac{S_1}{x^2}+\frac{S_2}{x^3}+\frac{S_3}{x^4}+...[/tex3]
Olá, Comunidade!
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Prof. Caju
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Demonstrações ⇒ Demonstração - Teorema de Girard
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Demonstração - Teorema de Girard
Editado pela última vez por Jvrextrue13 em 31 Jul 2020, 16:26, em um total de 1 vez.
Ensinar/ajudar é uma das melhores formas de fixar o que já foi estudado
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16:20
Re: Demonstração - Teorema de Girard
Não entendi, você está demonstrando o Teorema de Girard ou as Somas de Newton?
Para alcançar um objetivo, não procure motivação, busque a disciplina. Ela que irá fazer você levantar todos os dias para realizar seus sonhos. A motivação é o resultado, é o que sente no final do dia, quando deitar sua cabeça no travesseiro.
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16:26
Re: Demonstração - Teorema de Girard
Eu tava estudando e me deparei com esse teorema, ai quis compartilhar. No caso ele diz que podemos obter as somas de newton dividindo a derivada de um polinômio pelo polinomio original usando o método algébrico. Ai eu no caso a msg foi provando que realmente a divisão da derivada pelo polinomio original realmente da aquele resultado.que é o quociente da divisão.
Ensinar/ajudar é uma das melhores formas de fixar o que já foi estudado
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