DemonstraçõesDemonstração - Paralela as bases que divide trapézio em dois trapézios de mesma área(Geometria Plana) Tópico resolvido

Fórum de coletânea das melhores demonstrações de teoremas de matemática.
Se você quiser postar uma demonstração aqui, poste, inicialmente, no fórum correspondente utilizando o título "Demonstração Teorema X" e substitua com o nome do teorema/fórmula que você postou e, depois, envie o link para um moderador pedindo para sua mensagem ser movida para o fórum "Demonstrações". Somente moderadores poderão mover sua mensagem para este fórum.

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Autor do Tópico
Deleted User 24758
6 - Doutor
Última visita: 31-12-69
Jul 2020 27 21:32

Demonstração - Paralela as bases que divide trapézio em dois trapézios de mesma área(Geometria Plana)

Mensagem não lida por Deleted User 24758 »

Provar que a reta paralela as bases de um trapézio que o divide em outros dois trapézios de mesma área vale, em função das bases:
trapézio.png
trapézio.png (17.73 KiB) Exibido 2167 vezes
[tex3]c=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}[/tex3]
Observe que:

[tex3]Area_{ABNM}=\frac{(a+c)d}{2}[/tex3]

[tex3]Area_{MNCD}=\frac{(c+b)e}{2}[/tex3]

E também que:

[tex3]\frac{(a+c)d}{2}=\frac{(c+b).e}{2}[/tex3]
[tex3](a+c)d=(c+b)e[/tex3]
[tex3]\boxed{\frac{e}{d}=\frac{(a+c)}{(c+b)}}[/tex3]

Perceba também que:

[tex3]Area_{ABCD}=\frac{(a+b)(d+e)}{2}[/tex3]

Portanto

[tex3]\frac{(a+b)(d+e)}{2}=2.\frac{(a+c)d}{2}[/tex3]

[tex3](a+b)(d+e)=2d(a+c)[/tex3]

[tex3]\frac{2(a+c)}{(a+b)}=\frac{(d+e)}{d}[/tex3]

[tex3]\frac{2(a+c)}{(a+b)}=1+\frac{(a+c)}{(b+c)}[/tex3]

[tex3]\frac{2(a+c)}{(a+b)}=\frac{(2c+a+b)}{(b+c)}[/tex3]

[tex3]2(a+c)(b+c)=(2c+a+b)(a+b)[/tex3]

[tex3]2ab+2ac+2cb+2c^2=2ac+a^2+ab+2cb+ab+b^2[/tex3]

[tex3]2c^2=a^2+b^2[/tex3]

[tex3]c^2=\frac{a^2+b^2}{2}[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{\boxed{c=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}}}}[/tex3]


Att L.O

Última edição: Deleted User 24758 (Seg 27 Jul, 2020 21:33). Total de 1 vez.



Movido de IME / ITA para Demonstrações em Ter 28 Jul, 2020 11:15 por MateusQqMD

Autor do Tópico
Deleted User 24633
6 - Doutor
Última visita: 31-12-69
Ago 2020 10 17:50

Re: Demonstração - Paralela as bases que divide trapézio em dois trapézios de mesma área(Geometria Plana)

Mensagem não lida por Deleted User 24633 »

Olá KashinKoje. Outra demonstração seria a seguinte:
trapezio.png
trapezio.png (11.33 KiB) Exibido 2080 vezes
Na figura [tex3]P=AD \cap BC[/tex3] . Denote por [tex3]T=[APB][/tex3] e [tex3]A=[ABNM]=[MNCD].[/tex3] É imediato que [tex3]\triangle APB \sim \triangle MPN[/tex3] cuja razão de semelhança é [tex3]\dfrac{a}{c}.[/tex3] Assim [tex3]\dfrac{[APB]}{[
PMN]}=\dfrac{a^2}{c^2}[/tex3] ou seja [tex3]\dfrac{T}{T+A}=\dfrac{a^2}{c^2}[/tex3] segue que [tex3]\boxed{\boxed{\dfrac{T}{A}=\dfrac{a^2}{c^2-a^2}}}[/tex3]

Também temos que [tex3]\triangle APB \sim DPC[/tex3] com razão de semelhança [tex3]\dfrac{a}{b}.[/tex3] Então [tex3]\dfrac{[APB]}{[DPC]}=\dfrac{b^2}{c^2}[/tex3] ou seja [tex3]\dfrac{T}{T+2A}=\dfrac{a^2}{b^2}[/tex3] isto é [tex3]\dfrac{T}{2A}=\dfrac{a^2}{b^2-a^2}[/tex3] donde [tex3]\boxed{\boxed{\frac{T}A=\dfrac{2a^2}{b^2-a^2}}}[/tex3]

Decorre que [tex3]\dfrac{\cancel {a^2}}{c^2-a^2}=\frac{2\cancel{a^2}}{b^2-a^2}[/tex3] ou seja [tex3]c^2=\dfrac{a^2+b^2}{2}[/tex3] como [tex3]c[/tex3] é uma medida vem [tex3]c=\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}~~~~ \blacksquare[/tex3]

Última edição: Ittalo25 (Seg 10 Ago, 2020 19:54). Total de 1 vez.



Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg

Voltar para “Demonstrações”