)
[tex3]\Delta f(x)=f(x+1)-f(x)[/tex3]
A vantagem de saber esse conceito é quando estamos calculando [tex3]\sum_{x=a}^{n}g(x)[/tex3] , por que, se encontrarmos um operador diferença, tal que [tex3]\Delta f(x)=g(x)[/tex3] , então:
[tex3]\sum_{x=a}^{n}g(x)=f(n+1)-f(a)[/tex3]
Demonstração:
Supondo que exista [tex3]\Delta f(x)[/tex3] tal que [tex3]\Delta f(x)=g(x)[/tex3] . Então:
[tex3]\sum_{x=a}^{n}g(x)=\sum_{x=a}^{n}\Delta f(x)[/tex3]
[tex3]\sum_{x=a}^{n}g(x)=\sum_{x=a}^{n}[f(x+1)-f(x)][/tex3]
[tex3]\sum_{x=a}^{n}g(x)={\color{teal}\sum_{x=a}^{n}f(x+1)}-{\color{BrickRed}\sum_{x=a}^{n}f(x)}[/tex3]
Tirando o primeiro termo da segunda soma e o último termo da primeira:
[tex3]\sum_{x=a}^{n}g(x)={\color{teal}\sum_{x=a}^{n-1}f(x+1)+f(n+1)}-{\color{BrickRed}\left(f(a)+\sum_{x=a+1}^{n}f(x)\right)}[/tex3]
Fazendo uma mudança de índice na primeira soma:
[tex3]\sum_{x=a}^{n-1}f(x+1)[/tex3]
Fazendo [tex3]x+1=u[/tex3] , tal que [tex3]\begin{cases}
x=n-1\implies u=n \\
x=a\implies u =a+1
\end{cases}[/tex3] :
[tex3]\sum_{x=a}^{n-1}f(x+1)=\sum_{u=a+1}^{n}f(u)[/tex3]
Porém, a variável utilizada não altera o valor do somatório, então podemos escrever:
[tex3]\sum_{x=a}^{n-1}f(x+1)=\sum_{u=a+1}^{n}f(u)=\sum_{x=a+1}^{n}f(x)[/tex3]
Substituindo isso na equação original:
[tex3]\sum_{x=a}^{n}g(x)=\sum_{x=a}^{n-1}f(x+1)+f(n+1)-\left(f(a)+\sum_{x=a+1}^{n}f(x)\right)[/tex3]
[tex3]\sum_{x=a}^{n}g(x)={\color{teal}\sum_{x=a+1}^{n}f(x)}+f(n+1)-f(a)-{\color{teal}\sum_{x=a+1}^{n}f(x)}[/tex3]
[tex3]\sum_{x=a}^{n}g(x)=f(n+1)-f(a)+\color{teal}\sum_{x=a+1}^{n}f(x)-\sum_{x=a+1}^{n}f(x)[/tex3]
[tex3]\color{BurntOrange}\sum_{x=a}^{n}g(x)=f(n+1)-f(a) \,\,\,\text{C.Q.D}[/tex3]
