Demonstrações(Demonstração) Circunferências de Descartes por Geometria Plana

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jvmago
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(Demonstração) Circunferências de Descartes por Geometria Plana

Mensagem não lida por jvmago »

unnamed.jpg
unnamed.jpg (23.12 KiB) Exibido 3181 vezes
É chegado o momento de fazer geometria! Espero com esse post sanar a duvida de muitos curiosos sobre o assunto, feito isso PARTIU!

Sejam A (a), B (b) e C (c) três círculos tangentes externos, dois a dois, e seja O (r) a circunferência tangente fora dos três círculos.

Seja P e Q os pontos de contato dos círculos A (a) e B (b) com o círculo C (c). Seja N o ponto de contato de O (r) com C (c). Seja H o pé da perpendicular à extensão QN.

Podemos calcular os comprimentos das seqüências PQ, PN e QN:


[tex3]PQ²=\frac{c²(2\sqrt{ab})²}{(a+c)(b+c)}=\frac{4abc²}{(a+c)(b+c)}[/tex3]

[tex3]QN²=\frac{4bc²r}{(b+c)(r+c)}[/tex3]

[tex3]PN²=\frac{4ac²r}{(a+c)(c+r)}[/tex3]


Chamando N' o simétrico de N em relação a C, os triângulos PQH e NN'P são retângulos, o primeiro por construção e o segundo por NN' sendo um diâmetro. Além disso, como são ângulos inscritos que abrangem o mesmo arco, Nn'P = PqH, resultando também nos triângulos PQH e NN'P sendo semelhantes. Assim teremos:


[tex3]\frac{PN}{2NC}=\frac{PH}{PQ}[/tex3]

[tex3]PH²=\frac{PQ²*PN²}{4c²}=\frac{4a²bc²r}{(a+c)²(b+c)(r+c)}[/tex3]

Por pitagoras

[tex3]NH²=PN²-PH²[/tex3] e no triangulo PQN temos também [tex3]PQ²=PN²+QN²+2QN*HN[/tex3] Portanto

[tex3]\frac{4abc²}{(a+c)(b+c)}=\frac{4ac²r}{(a+c)(r+c)}+\frac{4bc²r}{(b+c)(r+c)}+2*\frac{2c\sqrt{br}*2c\sqrt{ar}} {\sqrt{(b+c)(r+c)(a+c)(r+c)}}*\sqrt{1-\frac{ab}{(a+c)(b+c)}}[/tex3]

Simplificando

[tex3]ab(r+c)=ar(b+c)+br(a+c)+2r\sqrt{abc(a+b+c)}[/tex3] e finalmente

[tex3]r=\frac{abc}{ab+bc+ac+2\sqrt{abc(a+b+c)}}[/tex3]

PIMBADA



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jvmago
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Re: (Demonstração) Circunferências de Descartes por Geometria Plana

Mensagem não lida por jvmago »

Hope senhores, algum moderador poderia colocar esse tópico na área de demonstrações? Vou lançar outras hoje e foi muito difícil para conseguir linkar com esse, desde já grato! :D



Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.

Movido de IME / ITA para Demonstrações em Ter 22 Dez, 2020 09:16 por MateusQqMD

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Re: (Demonstração) Circunferências de Descartes por Geometria Plana

Mensagem não lida por Renadeca »

Opa, jvmago! Poderia me dizer como tu chegou nas primeiras relações de PQ^2, QN^2 e PN^2? Estou tentando demonstrar também, só que esse passo não peguei.
abraços



FelipeMartin
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Re: (Demonstração) Circunferências de Descartes por Geometria Plana

Mensagem não lida por FelipeMartin »

Renadeca, P e Q são os pontos de contato do incírculo do [tex3]\triangle ABC[/tex3] com os lados [tex3]AC[/tex3] e [tex3]BC[/tex3] .

A distância entre esses pontos é relativamente notável, se quiser demonstrar pode fazer uma lei dos cossenos no [tex3]\triangle PCQ[/tex3] e substituir o cosseno de [tex3]\angle C[/tex3] usando a lei dos cossenos no [tex3]\triangle ABC[/tex3] .


φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.

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Re: (Demonstração) Circunferências de Descartes por Geometria Plana

Mensagem não lida por jvmago »

Opa essa demonstração é bem simples

Aplicando a lei dos cossenos no triângulo menor

[tex3]PQ²= 2c²-2c²cosC[/tex3] por outro lado usando o maior nós temos

[tex3](a+b)²=(a+c)²+(b+c)²-2(a+c)(b+c)cosC[/tex3]

Aí é ser só um pouquinho de álgebra



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Renadeca
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Re: (Demonstração) Circunferências de Descartes por Geometria Plana

Mensagem não lida por Renadeca »

Boa tarde, valeu gentee...




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