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Prof. Caju
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Demonstrações ⇒ (Demonstração) Circunferências de Descartes por Geometria Plana
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Jun 2020
21
15:28
(Demonstração) Circunferências de Descartes por Geometria Plana
Sejam A (a), B (b) e C (c) três círculos tangentes externos, dois a dois, e seja O (r) a circunferência tangente fora dos três círculos.
Seja P e Q os pontos de contato dos círculos A (a) e B (b) com o círculo C (c). Seja N o ponto de contato de O (r) com C (c). Seja H o pé da perpendicular à extensão QN.
Podemos calcular os comprimentos das seqüências PQ, PN e QN:
[tex3]PQ²=\frac{c²(2\sqrt{ab})^2}{(a+c)(b+c)}=\frac{4abc²}{(a+c)(b+c)}[/tex3]
[tex3]QN²=\frac{4bc²r}{(b+c)(r+c)}[/tex3]
[tex3]PN²=\frac{4ac²r}{(a+c)(c+r)}[/tex3]
Chamando N' o simétrico de N em relação a C, os triângulos PQH e NN'P são retângulos, o primeiro por construção e o segundo por NN' sendo um diâmetro. Além disso, como são ângulos inscritos que abrangem o mesmo arco, Nn'P = PqH, resultando também nos triângulos PQH e NN'P sendo semelhantes. Assim teremos:
[tex3]\frac{PN}{2NC}=\frac{PH}{PQ}[/tex3]
[tex3]PH²=\frac{PQ²*PN²}{4c²}=\frac{4a²bc²r}{(a+c)^2(b+c)(r+c)}[/tex3]
Por pitagoras
[tex3]NH²=PN²-PH²[/tex3] e no triangulo PQN temos também [tex3]PQ²=PN²+QN²+2QN*HN[/tex3] Portanto
[tex3]\frac{4abc²}{(a+c)(b+c)}=\frac{4ac²r}{(a+c)(r+c)}+\frac{4bc²r}{(b+c)(r+c)}+2*\frac{2c\sqrt{br}*2c\sqrt{ar}} {\sqrt{(b+c)(r+c)(a+c)(r+c)}}*\sqrt{1-\frac{ab}{(a+c)(b+c)}}[/tex3]
Simplificando
[tex3]ab(r+c)=ar(b+c)+br(a+c)+2r\sqrt{abc(a+b+c)}[/tex3] e finalmente
[tex3]r=\frac{abc}{ab+bc+ac+2\sqrt{abc(a+b+c)}}[/tex3]
PIMBADA
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Dez 2020
22
08:20
Re: (Demonstração) Circunferências de Descartes por Geometria Plana
Hope senhores, algum moderador poderia colocar esse tópico na área de demonstrações? Vou lançar outras hoje e foi muito difícil para conseguir linkar com esse, desde já grato!
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
Mar 2021
23
21:26
Re: (Demonstração) Circunferências de Descartes por Geometria Plana
Opa, jvmago! Poderia me dizer como tu chegou nas primeiras relações de PQ^2, QN^2 e PN^2? Estou tentando demonstrar também, só que esse passo não peguei.
abraços
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Mar 2021
23
22:00
Re: (Demonstração) Circunferências de Descartes por Geometria Plana
Renadeca, P e Q são os pontos de contato do incírculo do [tex3]\triangle ABC[/tex3]
com os lados [tex3]AC[/tex3]
e [tex3]BC[/tex3]
.
A distância entre esses pontos é relativamente notável, se quiser demonstrar pode fazer uma lei dos cossenos no [tex3]\triangle PCQ[/tex3] e substituir o cosseno de [tex3]\angle C[/tex3] usando a lei dos cossenos no [tex3]\triangle ABC[/tex3] .
A distância entre esses pontos é relativamente notável, se quiser demonstrar pode fazer uma lei dos cossenos no [tex3]\triangle PCQ[/tex3] e substituir o cosseno de [tex3]\angle C[/tex3] usando a lei dos cossenos no [tex3]\triangle ABC[/tex3] .
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
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Mar 2021
23
22:04
Re: (Demonstração) Circunferências de Descartes por Geometria Plana
Opa essa demonstração é bem simples
Aplicando a lei dos cossenos no triângulo menor
[tex3]PQ²= 2c²-2c²cosC[/tex3] por outro lado usando o maior nós temos
[tex3](a+b)^2=(a+c)^2+(b+c)^2-2(a+c)(b+c)cosC[/tex3]
Aí é ser só um pouquinho de álgebra
Aplicando a lei dos cossenos no triângulo menor
[tex3]PQ²= 2c²-2c²cosC[/tex3] por outro lado usando o maior nós temos
[tex3](a+b)^2=(a+c)^2+(b+c)^2-2(a+c)(b+c)cosC[/tex3]
Aí é ser só um pouquinho de álgebra
Mar 2021
25
14:37
Re: (Demonstração) Circunferências de Descartes por Geometria Plana
Boa tarde, valeu gentee...
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