)
- unnamed.jpg (23.12 KiB) Exibido 3337 vezes
Sejam A (a), B (b) e C (c) três círculos tangentes externos, dois a dois, e seja O (r) a circunferência tangente fora dos três círculos.
Seja P e Q os pontos de contato dos círculos A (a) e B (b) com o círculo C (c). Seja N o ponto de contato de O (r) com C (c). Seja H o pé da perpendicular à extensão QN.
Podemos calcular os comprimentos das seqüências PQ, PN e QN:
[tex3]PQ²=\frac{c²(2\sqrt{ab})^2}{(a+c)(b+c)}=\frac{4abc²}{(a+c)(b+c)}[/tex3]
[tex3]QN²=\frac{4bc²r}{(b+c)(r+c)}[/tex3]
[tex3]PN²=\frac{4ac²r}{(a+c)(c+r)}[/tex3]
Chamando N' o simétrico de N em relação a C, os triângulos PQH e NN'P são retângulos, o primeiro por construção e o segundo por NN' sendo um diâmetro. Além disso, como são ângulos inscritos que abrangem o mesmo arco, Nn'P = PqH, resultando também nos triângulos PQH e NN'P sendo semelhantes. Assim teremos:
[tex3]\frac{PN}{2NC}=\frac{PH}{PQ}[/tex3]
[tex3]PH²=\frac{PQ²*PN²}{4c²}=\frac{4a²bc²r}{(a+c)^2(b+c)(r+c)}[/tex3]
Por pitagoras
[tex3]NH²=PN²-PH²[/tex3] e no triangulo PQN temos também [tex3]PQ²=PN²+QN²+2QN*HN[/tex3] Portanto
[tex3]\frac{4abc²}{(a+c)(b+c)}=\frac{4ac²r}{(a+c)(r+c)}+\frac{4bc²r}{(b+c)(r+c)}+2*\frac{2c\sqrt{br}*2c\sqrt{ar}} {\sqrt{(b+c)(r+c)(a+c)(r+c)}}*\sqrt{1-\frac{ab}{(a+c)(b+c)}}[/tex3]
Simplificando
[tex3]ab(r+c)=ar(b+c)+br(a+c)+2r\sqrt{abc(a+b+c)}[/tex3] e finalmente
[tex3]r=\frac{abc}{ab+bc+ac+2\sqrt{abc(a+b+c)}}[/tex3]
PIMBADA
/japa_boy.png)
