Demonstrações

Mensagem não lida por **jvmago** » 18 Jun 2020, 22:34

Retorno para mais uma daquelas demonstrações loucas!!! Essa eu estava devendo de ontem para o problema ser resolvido e me recordo de ao menos dois onde este conceito pode ser utilizado para facilitar contas e facilitar raciocínios.

LEMMA 1

Seja [tex3]\Delta ABC[/tex3] de base [tex3]AB[/tex3] tal que a altura [tex3]CH=h[/tex3] e raio do Incirculo [tex3]r[/tex3] verifica-se:

[tex3]tg(\frac{A}{2})*tg(\frac{B}{2})=1-\frac{2r}{h}[/tex3]

Seja [tex3]I[/tex3] incentro do [tex3]\Delta ABC[/tex3] tracemos [tex3]AI,BI[/tex3] e [tex3]IM=r[/tex3] , com [tex3]M[/tex3] em [tex3]AB[/tex3] .

Sabemos por propriedade que [tex3]AM=p-a[/tex3] e [tex3]MB=p-b[/tex3] APlicando um pouco de trigonometria!

[tex3]tg(\frac{A}{2})=\frac{r}{p-a}[/tex3] e [tex3]tg(\frac{B}{2})=\frac{r}{p-b}[/tex3] Multiplicando ambas

[tex3]tg(\frac{A}{2})*tg(\frac{B}{2})=k=\frac{r²}{(p-a)*(p-b)}[/tex3]

Pela formula de Heron, temos que [tex3]r²=\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}[/tex3] substituindo

[tex3]k=\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p(p-a)(p-b)}[/tex3]

[tex3]k=\frac{p-c}{p}[/tex3]

[tex3]k=1-\frac{c}{p}[/tex3]

[tex3]k=1-\frac{c*r}{p*r}[/tex3]

[tex3]k=1-\frac{c*r}{S}[/tex3] Ora [tex3]2S=c*h[/tex3] ENTÃO [tex3]c=\frac{2S}{h}[/tex3]

[tex3]tg(\frac{A}{2})tg(\frac{B}{2})=1-\frac{2S*r}{h*S}=1-\frac{2r}{h}[/tex3] PROVED

CONSEQUENCIAS

Seja [tex3]\Delta ABC[/tex3] de incirculo de raio [tex3]R[/tex3] marca-se o ponto [tex3]M[/tex3] sobre [tex3]AB[/tex3] tal que os raios dos incirculos dos [tex3]\Delta ACM[/tex3] e [tex3]\Delta MCB[/tex3] valem [tex3]a,b[/tex3] tem-se que:

[tex3]1-\frac{2R}{h}=(1-\frac{2a}{h})(1-\frac{2b}{h})[/tex3] (QUE RESULTADO SENHORES)

Aplicando o lemma no [tex3]\Delta ABC[/tex3] temos

[tex3]tg(\frac{A}{2})*tg(\frac{B}{2})=1-\frac{2R}{h}[/tex3]

Aplicando o lema no [tex3]\Delta ACM [/tex3]

[tex3]tg(\frac{A}{2})*tg(\frac{M}{2})=1-\frac{2a}{h}[/tex3]

Aplicando o lema no [tex3]\Delta MCB[/tex3]

[tex3]tg(\frac{B}{2})*tg(90-\frac{M}{2})=1-\frac{2b}{h}[/tex3] fazendo o produto desta com a anterior

[tex3]tg(\frac{B}{2})*tg(90-\frac{M}{2})*tg(\frac{A}{2})*tg(\frac{M}{2})=(1-\frac{2a}{h})(1-\frac{2b}{h})[/tex3]

NOte que [tex3]tg(90-\frac{M}{2})*tg(\frac{A}{2})=1[/tex3] e pela primeira equação!

[tex3]1-\frac{2R}{h}=(1-\frac{2a}{h})(1-\frac{2b}{h})[/tex3] fica verificado!

CASO ESPECIAL

Se [tex3]a=b[/tex3] ENTÃO [tex3]1-\frac{2R}{h}=(1-\frac{2a}{h})^2[/tex3]

Esse teorema se extende para [tex3]n[/tex3] circunraios e obedecerá sempre esse esquema!

viewtopic.php?f=20&t=83544 (AGORA É TRIVIAL)

Ele também pode ser usado naquele problema da área de um triangulo retangulo cuja ceviana é comum OU NÃO

viewtopic.php?f=28&t=70749

[tex3]PIMBADA[/tex3]

Mensagem não lida por **jvmago** » 21 Jun 2020, 15:32

Se possível, algum moderador poderia enviar para a área de demosntrações? grato

Demonstrações ⇒ (Demonstração) Teorema de Angela Drei e suas consequências

(Demonstração) Teorema de Angela Drei e suas consequências

Re: (Demonstração) Teorema de Angela Drei e suas consequências

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