Retorno para mais uma daquelas demonstrações loucas!!! Essa eu estava devendo de ontem para o problema ser resolvido e me recordo de ao menos dois onde este conceito pode ser utilizado para facilitar contas e facilitar raciocínios.
LEMMA 1
Seja [tex3]\Delta ABC[/tex3]
de base [tex3]AB[/tex3]
tal que a altura [tex3]CH=h[/tex3]
e raio do Incirculo [tex3]r[/tex3]
verifica-se:
[tex3]tg(\frac{A}{2})*tg(\frac{B}{2})=1-\frac{2r}{h}[/tex3]
Seja [tex3]I[/tex3]
incentro do [tex3]\Delta ABC[/tex3]
tracemos [tex3]AI,BI[/tex3]
e [tex3]IM=r[/tex3]
, com [tex3]M[/tex3]
em [tex3]AB[/tex3]
.
Sabemos por propriedade que [tex3]AM=p-a[/tex3]
e [tex3]MB=p-b[/tex3]
APlicando um pouco de trigonometria!
[tex3]tg(\frac{A}{2})=\frac{r}{p-a}[/tex3]
e [tex3]tg(\frac{B}{2})=\frac{r}{p-b}[/tex3]
Multiplicando ambas
[tex3]tg(\frac{A}{2})*tg(\frac{B}{2})=k=\frac{r²}{(p-a)*(p-b)}[/tex3]
Pela formula de Heron, temos que [tex3]r²=\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}[/tex3]
substituindo
[tex3]k=\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p(p-a)(p-b)}[/tex3]
[tex3]k=\frac{p-c}{p}[/tex3]
[tex3]k=1-\frac{c}{p}[/tex3]
[tex3]k=1-\frac{c*r}{p*r}[/tex3]
[tex3]k=1-\frac{c*r}{S}[/tex3]
Ora [tex3]2S=c*h[/tex3]
ENTÃO [tex3]c=\frac{2S}{h}[/tex3]
[tex3]tg(\frac{A}{2})tg(\frac{B}{2})=1-\frac{2S*r}{h*S}=1-\frac{2r}{h}[/tex3]
PROVED
CONSEQUENCIAS
Seja [tex3]\Delta ABC[/tex3]
de incirculo de raio [tex3]R[/tex3]
marca-se o ponto [tex3]M[/tex3]
sobre [tex3]AB[/tex3]
tal que os raios dos incirculos dos [tex3]\Delta ACM[/tex3]
e [tex3]\Delta MCB[/tex3]
valem [tex3]a,b[/tex3]
tem-se que:
[tex3]1-\frac{2R}{h}=(1-\frac{2a}{h})(1-\frac{2b}{h})[/tex3]
(QUE RESULTADO SENHORES)
Aplicando o lemma no [tex3]\Delta ABC[/tex3]
temos
[tex3]tg(\frac{A}{2})*tg(\frac{B}{2})=1-\frac{2R}{h}[/tex3]
Aplicando o lema no [tex3]\Delta ACM [/tex3]
[tex3]tg(\frac{A}{2})*tg(\frac{M}{2})=1-\frac{2a}{h}[/tex3]
Aplicando o lema no [tex3]\Delta MCB[/tex3]
[tex3]tg(\frac{B}{2})*tg(90-\frac{M}{2})=1-\frac{2b}{h}[/tex3]
fazendo o produto desta com a anterior
[tex3]tg(\frac{B}{2})*tg(90-\frac{M}{2})*tg(\frac{A}{2})*tg(\frac{M}{2})=(1-\frac{2a}{h})(1-\frac{2b}{h})[/tex3]
NOte que [tex3]tg(90-\frac{M}{2})*tg(\frac{A}{2})=1[/tex3]
e pela primeira equação!
[tex3]1-\frac{2R}{h}=(1-\frac{2a}{h})(1-\frac{2b}{h})[/tex3]
fica verificado!
CASO ESPECIAL
Se [tex3]a=b[/tex3]
ENTÃO [tex3]1-\frac{2R}{h}=(1-\frac{2a}{h})^2[/tex3]
Esse teorema se extende para [tex3]n[/tex3]
circunraios e obedecerá sempre esse esquema!
viewtopic.php?f=20&t=83544 (AGORA É TRIVIAL)
Ele também pode ser usado naquele problema da área de um triangulo retangulo cuja ceviana é comum OU NÃO
viewtopic.php?f=28&t=70749
[tex3]PIMBADA[/tex3]
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Demonstrações ⇒ (Demonstração) Teorema de Angela Drei e suas consequências
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Jun 2020
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22:34
(Demonstração) Teorema de Angela Drei e suas consequências
Editado pela última vez por jvmago em 18 Jun 2020, 22:35, em um total de 1 vez.
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
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Jun 2020
21
15:32
Re: (Demonstração) Teorema de Angela Drei e suas consequências
Se possível, algum moderador poderia enviar para a área de demosntrações? grato
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
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