)
"Seja ABCD um quadrilátero inscritível, onde AB = a, BC = b, CD = c, DA = d, AC = p e BD = q. O raio da circunferência circunscrita ao quadrilátero é dada por:
[tex3]R=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}[/tex3]
onde s é o semiperímetro do quadrilátero e S é a área do quadrilátero."
Segue a imagem para melhor elucidação:
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[tex3]\text{Fórmula de Brahmagupta:}\\
S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}\\
\text{Circunraio ao triângulo:}\\
S=\frac{abc}{4R}\\
\text{Teorema de Ptolomeu:}\\
pq = ac + bd[/tex3]
Podemos dividir nossa figura em alguns triângulos.
Iniciemos por ABC e ADC.
[tex3]S(ABC)=\frac{abp}{4R}\\
S(ADC)=\frac{cdp}{4R}\\
S=S(ADC)+S(ABC)=\frac{p}{4R}(ab+cd)[/tex3]
Agora, podemos usar a diagonal BD também! Vamos dividir o quadrilátero em ABD e BDC.
Analogamente, chegaremos que:
[tex3]S=\frac{q}{4R}(ad+bc)[/tex3]
Temos duas expressões em função das diagonais... Pelo teorema de Ptolomeu podemos relacioná-las!
[tex3]S^2=\frac{pq}{4R}(ab+cd)(ad+bc)\\
S^2=\frac{(ac+bd)(ab+cd)(ad+bc)}{16R^2}\\
R^2=\frac{(ac+bd)(ab+cd)(ad+bc)}{16S^2}\\
\text{Resta substituir a expressão de Brahmagupta!}[/tex3]
Desse modo, chegamos exatamente no enunciado!!
[tex3]R=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}\\
\text{cqd.}[/tex3]
Cabe relembrar que a expressão de Brahmagupta fornece a área de quadriláteros inscritíveis! Ela é deduzida a partir da fórmula de Bretschneider, que calcula a área de qualquer quadrilátero convexo.
