Demonstração da fórmula de Parameshvara, que estabelece:
"Seja ABCD um quadrilátero inscritível, onde AB = a, BC = b, CD = c, DA = d, AC = p e BD = q. O raio da circunferência circunscrita ao quadrilátero é dada por:
[tex3]R=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}[/tex3]
onde s é o semiperímetro do quadrilátero e S é a área do quadrilátero."
Segue a imagem para melhor elucidação:
Primeiramente, devemos conhecer três fórmulas essenciais:
[tex3]\text{Fórmula de Brahmagupta:}\\
S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}\\
\text{Circunraio ao triângulo:}\\
S=\frac{abc}{4R}\\
\text{Teorema de Ptolomeu:}\\
pq = ac + bd[/tex3]
Podemos dividir nossa figura em alguns triângulos.
Iniciemos por ABC e ADC.
[tex3]S(ABC)=\frac{abp}{4R}\\
S(ADC)=\frac{cdp}{4R}\\
S=S(ADC)+S(ABC)=\frac{p}{4R}(ab+cd)[/tex3]
Agora, podemos usar a diagonal BD também! Vamos dividir o quadrilátero em ABD e BDC.
Analogamente, chegaremos que:
[tex3]S=\frac{q}{4R}(ad+bc)[/tex3]
Temos duas expressões em função das diagonais... Pelo teorema de Ptolomeu podemos relacioná-las!
[tex3]S^2=\frac{pq}{4R}(ab+cd)(ad+bc)\\
S^2=\frac{(ac+bd)(ab+cd)(ad+bc)}{16R^2}\\
R^2=\frac{(ac+bd)(ab+cd)(ad+bc)}{16S^2}\\
\text{Resta substituir a expressão de Brahmagupta!}[/tex3]
Desse modo, chegamos exatamente no enunciado!!
[tex3]R=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}\\
\text{cqd.}[/tex3]
Cabe relembrar que a expressão de Brahmagupta fornece a área de quadriláteros inscritíveis! Ela é deduzida a partir da fórmula de Bretschneider, que calcula a área de qualquer quadrilátero convexo.
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Demonstrações ⇒ Demonstração - Parameshvara
Moderador: [ Moderadores TTB ]
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- Última visita: 31-12-69
Nov 2021
18
14:37
Re: Demonstração - Parameshvara
OBS: A simples aplicação dessa fórmula levava ao resultado da questão 1 da segunda fase do ITA 2021.
A questão tem como enunciado:
"Determine o raio da circunferência circunscrita a um trapézio isósceles cujas bases e altura têm comprimentos 4, 2 e 3, respectivamente. "
Gabarito: raiz de 5
A questão tem como enunciado:
"Determine o raio da circunferência circunscrita a um trapézio isósceles cujas bases e altura têm comprimentos 4, 2 e 3, respectivamente. "
Gabarito: raiz de 5
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