DemonstraçõesDemonstração - Parameshvara

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Jun 2020 10 09:34

Demonstração - Parameshvara

Mensagem não lida por Deleted User 23699 »

Demonstração da fórmula de Parameshvara, que estabelece:

"Seja ABCD um quadrilátero inscritível, onde AB = a, BC = b, CD = c, DA = d, AC = p e BD = q. O raio da circunferência circunscrita ao quadrilátero é dada por:

[tex3]R=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}[/tex3]

onde s é o semiperímetro do quadrilátero e S é a área do quadrilátero."

Segue a imagem para melhor elucidação:
parameshvara.png
parameshvara.png (87.4 KiB) Exibido 1992 vezes
Primeiramente, devemos conhecer três fórmulas essenciais:

[tex3]\text{Fórmula de Brahmagupta:}\\
S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}\\
\text{Circunraio ao triângulo:}\\
S=\frac{abc}{4R}\\
\text{Teorema de Ptolomeu:}\\
pq = ac + bd[/tex3]

Podemos dividir nossa figura em alguns triângulos.
Iniciemos por ABC e ADC.
[tex3]S(ABC)=\frac{abp}{4R}\\
S(ADC)=\frac{cdp}{4R}\\
S=S(ADC)+S(ABC)=\frac{p}{4R}(ab+cd)[/tex3]

Agora, podemos usar a diagonal BD também! Vamos dividir o quadrilátero em ABD e BDC.
Analogamente, chegaremos que:
[tex3]S=\frac{q}{4R}(ad+bc)[/tex3]

Temos duas expressões em função das diagonais... Pelo teorema de Ptolomeu podemos relacioná-las!
[tex3]S^2=\frac{pq}{4R}(ab+cd)(ad+bc)\\
S^2=\frac{(ac+bd)(ab+cd)(ad+bc)}{16R^2}\\
R^2=\frac{(ac+bd)(ab+cd)(ad+bc)}{16S^2}\\
\text{Resta substituir a expressão de Brahmagupta!}[/tex3]

Desse modo, chegamos exatamente no enunciado!!

[tex3]R=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}\\
\text{cqd.}[/tex3]

Cabe relembrar que a expressão de Brahmagupta fornece a área de quadriláteros inscritíveis! Ela é deduzida a partir da fórmula de Bretschneider, que calcula a área de qualquer quadrilátero convexo.

:lol:




Movido de Ensino Médio para Demonstrações em Qua 10 Jun, 2020 17:31 por Ittalo25

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Deleted User 23699
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Nov 2021 18 14:37

Re: Demonstração - Parameshvara

Mensagem não lida por Deleted User 23699 »

OBS: A simples aplicação dessa fórmula levava ao resultado da questão 1 da segunda fase do ITA 2021.
A questão tem como enunciado:
"Determine o raio da circunferência circunscrita a um trapézio isósceles cujas bases e altura têm comprimentos 4, 2 e 3, respectivamente. "
Gabarito: raiz de 5




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