Esboçe um [tex3]\Delta ABC[/tex3]
PEDS-SE [tex3]OH=x[/tex3]
Trace as alturas [tex3]BM[/tex3]
e [tex3]CP[/tex3]
Prolongue [tex3]HC[/tex3]
até [tex3]P(Q)[/tex3]
que está na circunferencia, note que [tex3]AcP=HbP=PbQ[/tex3]
então [tex3]BH=BQ[/tex3]
tal que [tex3]HQ=2HP=2y[/tex3]
Potencia de ponto em [tex3]H[/tex3]
[tex3]R^2-x^2=HC*HQ[/tex3]
[tex3]R^2-x^2=2m*2y[/tex3]
[tex3]R^2-x^2=4my[/tex3]
Traçando [tex3]AO=R[/tex3]
e [tex3]OD=m[/tex3]
perpendicular a [tex3]AB[/tex3]
, temos que pelo teorema do ortocentro, [tex3]HC=2m[/tex3]
e [tex3]\Delta AOD[/tex3]
~[tex3]\Delta ACN[/tex3]
PORTANTO
[tex3]\frac{m}{CN}=\frac{R}{b}[/tex3]
Aplicando pitagoras em [tex3]\Delta ACN[/tex3]
[tex3]CN²=\frac{a^2b^2-4p(p-a)(p-b)(p-c)}{a²}[/tex3]
[tex3]m=\frac{R\sqrt{(a^2b^2-4p(p-a)(p-b)(p-c)})}{ab}[/tex3]
assim usando o teorema da altura temos
[tex3]y=h_c-m[/tex3]
[tex3]y=\frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{c}-\frac{2R\sqrt{a^2b^2-4p(p-a)(p-b)(p-c)}}{ab}[/tex3]
sabemos que [tex3]\frac{abc}{4R}=\frac{c*h_c}{2}[/tex3]
e [tex3]h_c=\frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{c}[/tex3]
[tex3]y=h_c-\frac{\sqrt{a^2b^2-4p(p-a)(p-b)(p-c)}}{h_c}[/tex3]
POR FIM
[tex3]x^2=R^2-4*\frac{R\sqrt{(a^2b^2-4p(p-a)(p-b)(p-c)})}{ab}*(h_c-\frac{\sqrt{a^2b^2-4p(p-a)(p-b)(p-c)}}{h_c})[/tex3]
[tex3]x^2=R^2-4*\frac{1*\sqrt{(a^2b^2-4p(p-a)(p-b)(p-c)})}{2h_c}*(h_c-\frac{\sqrt{a^2b^2-4p(p-a)(p-b)(p-c)}}{h_c})[/tex3]
[tex3]x^2=R^2-\frac{2\sqrt{(a^2b^2-4p(p-a)(p-b)(p-c)})}{h_c}*(h_c-\frac{\sqrt{a^2b^2-4p(p-a)(p-b)(p-c)}}{h_c})[/tex3]
ISSO DE MANEIRA GENERALIZADA
[tex3]h_c=\frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{c}[/tex3]
[tex3]h^2_c*c²=4p(p-a)(p-b)(p-c)[/tex3]
[tex3]x^2=R^2-\frac{2\sqrt{(a^2b^2-c²h^2_c})}{h_c}*(h_c-\frac{\sqrt{a^2b^2-c²h^2}}{h_c})[/tex3]
----------------------EXTRA------------------------
Pela reta de Euler [tex3]OH=2GO[/tex3]
usando viewtopic.php?f=2&t=82990
[tex3]OH=\sqrt{\frac{2(9R²-2p²+8Rr+2r²)}{9}}=\sqrt{2(R²-\frac{(a^2+b^2+c²)}{9}}[/tex3]
qualquer tal que [tex3]R,r[/tex3]
são os raios da circunferencia circunscrita e inscrita, respectivamente, [tex3]O[/tex3]
o circuncentro,[tex3]AB=c,AC=b,BC=a[/tex3]
e [tex3]H[/tex3]
o ortocentro PARTIU!!Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Prof. Caju
Demonstrações ⇒ (Demonstração) DIstancia entre o Circuncentro e o Ortocentro
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Jun 2020
06
16:39
(Demonstração) DIstancia entre o Circuncentro e o Ortocentro
Editado pela última vez por jvmago em 06 Jun 2020, 16:47, em um total de 1 vez.
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
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Abr 2021
12
08:23
Re: (Demonstração) DIstancia entre o Circuncentro e o Ortocentro
Demonstração por complexos/analítica
Sejam três pontos A(a), B(b), C(c) não colineares
Assumindo que o circuncentro O é a origem do plano complexo, a coordenada de H é [tex3]Z_h=a+b+c[/tex3]
Usando o produto real podemos escrever
[tex3]OH^2=|Z_h|^2=(a+b+c)(a+b+c)=\sum_{cyc}^{}|a|^2+2\sum_{cyc}^{}a\bullet b=3R^2+2\sum_{cyc}^{}a\bullet b[/tex3]
Onde [tex3]a\bullet b=\frac{\overline{a}b+a\overline{b}}{2}[/tex3] é o produto real entre dois complexos
Mas pelo corolário:
Em qualquer triângulO ABC, as seguintes fórmulas são válidas:
[tex3]\alpha ^2+\beta ^2+\gamma ^2=2(p^2-r^2-4Rr)\\
\alpha ^3+\beta ^3+\gamma ^3=2p(p^2-3r^2-6Rr)[/tex3]
onde alfa, beta e gama são os lados do triângulo ABC e p é o semiperímetro
[tex3]OH^2=9R^2-(\alpha ^2+\beta ^2+\gamma ^2)\\
OH^2=9R^2+2r^2+8Rr-2p^2[/tex3]
Sejam três pontos A(a), B(b), C(c) não colineares
Assumindo que o circuncentro O é a origem do plano complexo, a coordenada de H é [tex3]Z_h=a+b+c[/tex3]
Usando o produto real podemos escrever
[tex3]OH^2=|Z_h|^2=(a+b+c)(a+b+c)=\sum_{cyc}^{}|a|^2+2\sum_{cyc}^{}a\bullet b=3R^2+2\sum_{cyc}^{}a\bullet b[/tex3]
Onde [tex3]a\bullet b=\frac{\overline{a}b+a\overline{b}}{2}[/tex3] é o produto real entre dois complexos
Mas pelo corolário:
Em qualquer triângulO ABC, as seguintes fórmulas são válidas:
[tex3]\alpha ^2+\beta ^2+\gamma ^2=2(p^2-r^2-4Rr)\\
\alpha ^3+\beta ^3+\gamma ^3=2p(p^2-3r^2-6Rr)[/tex3]
onde alfa, beta e gama são os lados do triângulo ABC e p é o semiperímetro
[tex3]OH^2=9R^2-(\alpha ^2+\beta ^2+\gamma ^2)\\
OH^2=9R^2+2r^2+8Rr-2p^2[/tex3]
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