Seja ABC um triangulo de lados [tex3]AB=c,BC=a,AC=b[/tex3]
AGORA VAMOS COMEÇAR DE FATO ESSA BRINCADEIRA!!!!
Olhe para o triangulo [tex3]AIM[/tex3]
e notamos que o baricentro [tex3]G[/tex3]
determina uma proporção na mediana [tex3]AM=m[/tex3]
então por stewart temos
[tex3]AI^2*\frac{m}{3}+MI^2*\frac{2m}{3}-x²m=\frac{2m³}{9}[/tex3]
simplificando
[tex3]3(AI^2+2MI^2)-2m^2=9x²[/tex3]
[tex3]4m^2=2b²+2c²-a²[/tex3]
[tex3]2m²=b²+c²-\frac{a²}{2}[/tex3]
GUARDA ISSO
Por propriedade [tex3]AI²=\frac{bc(p-a)}{p}[/tex3]
Olhando para o triangulo [tex3]IBC[/tex3]
temos pela mesma propriedade anterios que [tex3]BI²=\frac{ac(p-b)}{p}[/tex3]
e [tex3]CI^2=\frac{ab(p-c)}{p}[/tex3]
ASSIM COMO [tex3]MI[/tex3]
é mediana do triangulo IBC portanto
[tex3]4MI^2=2(CI²+BI²)-a²[/tex3]
[tex3]2MI²=CI^2+BI^2-\frac{a²}{2}[/tex3]
usando esse fato la em cima e simplificando!!
[tex3]9x²=3*(\frac{bc(p-a)+ac(p-b)+ab(p-c)}{p})-3a²-2(\frac{2b²+2c²-a²}{2})[/tex3]
[tex3]9px²=3(bc(p-a)+ac(p-b)+ab(p-c))-p(a²+b²+c²)[/tex3]
[tex3]9px²=3(p(ab+bc+ac)-3abc)-p(a²+b²+c²)[/tex3]
sabemos que [tex3]abc=p*4Rr[/tex3]
[tex3]9px²=3(p(ab+bc+ac)-12p*Rr)-p(a²+b²+c²)[/tex3]
dividendo por [tex3]p[/tex3]
[tex3]9x²=3(ab+bc+ac)-36Rr-(a²+b²+c²)[/tex3]
Nesse ponto do problema, INVOCO A TIA ALGEBRA
[tex3]9x²=3(ab+bc+ac)-36Rr-((a+b+c)^2-2(ab+bc+ac))[/tex3]
[tex3]9x²=3(ab+bc+ac)-36Rr-(4p²-2(ab+bc+ac))[/tex3]
[tex3]9x²=-4p^2+5(ab+ac+bc)-36Rr[/tex3]
TEOREMA NÃO FALADO
[tex3]cos(\frac{A}{2})=\sqrt{\frac{p(p-a)}{bc}}[/tex3]
[tex3]cos(\frac{B}{2})=\sqrt{\frac{p(p-b)}{ac}}[/tex3]
[tex3]cos(\frac{C}{2})=\sqrt{\frac{p(p-c)}{ab}}[/tex3]
Trace o segmento [tex3]ID=r,IE=r,IF=r[/tex3]
com [tex3]D,E,F[/tex3]
EM [tex3]AB,BC,AC[/tex3]
Usando trigonometria nesses triangulo, vemos que [tex3]AD=p-a[/tex3]
aplicando pitagoras em [tex3]AID[/tex3]
temos:
[tex3]r^2=\frac{bc(p-a)}{p}-(p-a)^2[/tex3]
[tex3]pr^2=bc(p-a)-p(p-a)^2[/tex3]
DE MANEIRA ANALOGA NOS TRIANGULOS [tex3]BIE,CIE[/tex3]
temos
[tex3]pr²=ac(p-b)-p(p-b)^2[/tex3]
[tex3]pr²=ab(p-c)-p(p-c)^2[/tex3]
Somando as três equações temos
[tex3]3pr²=ab(p-c)+ac(p-b)+bc(p-a)-p((p-a)^2+(p-b)^2+(p-c)^2)[/tex3]
ALGEBRANDO
[tex3]3pr²=p(ab+ac+bc)-3abc-p*(3p²-2p(a+b+c)+a²+b²+c²)[/tex3]
[tex3]3pr²=p(ab+ac+bc)-12p*Rr-p*(3p²-4p²+a²+b²+c²)[/tex3]
[tex3]3r²=ab+ac+bc-12Rr-(-p²+a²+b²+c²)[/tex3]
sabemos que [tex3]2p=a+b+c[/tex3]
ALGEBRANDO DE NOVO
[tex3]3r²=ab+ac+bc-12Rr-(\frac{-a²-b²-c²+4a²+4b²+4c²-2(ab+bc+ac)}{4})[/tex3]
[tex3]3r²=ab+ac+bc-12Rr-(\frac{3(a²+b²+c²)-2(ab+bc+ac)}{4})[/tex3]
[tex3]3r²=ab+ac+bc-12Rr-(\frac{3*4p²-6(ab+ac+bc)-2(ab+bc+ac)}{4})[/tex3]
[tex3]3r²=ab+ac+bc-12Rr-(3p²-2(ab+ac+bc))[/tex3]
POR FIM
[tex3]r²=(ab+bc+ac)-4Rr-p²[/tex3]
[tex3]ab+ac+bc=r²+4Rr+p²[/tex3]
olha que resultado interessante!!!! USANDO ISSO LA NO INICIO
[tex3]9x²=-4p^2+5(ab+ac+bc)-36Rr[/tex3]
[tex3]9x²=-4p^2+5(r²+4Rr+p²)-36Rr[/tex3]
[tex3]9x²=p²+5r²-16Rr[/tex3]
[tex3]PIMBADA[/tex3]
vamos traçar as medianas [tex3]AM ,CN[/tex3]
, [tex3][/tex3]
e as bissetrizes [tex3]CL,AK[/tex3]
com isso determinamos que [tex3]IG=x[/tex3]
ONDE [tex3]G[/tex3]
é o baricentro e [tex3]I [/tex3]
o incentroOlá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
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Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
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Demonstrações ⇒ (Demonstração) Distancia entre o Incentro e o Baricentro
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Jun 2020
06
14:48
(Demonstração) Distancia entre o Incentro e o Baricentro
Editado pela última vez por jvmago em 06 Jun 2020, 14:59, em um total de 1 vez.
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
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Abr 2021
12
08:38
Re: (Demonstração) Distancia entre o Incentro e o Baricentro
Demonstração por complexos/analítica usando coordenadas baricêntricas:
Teorema: Os pontos [tex3]A_1,A_2,B_1,B_2,C_1,C_2[/tex3] estão situados sobre os lados BC, CA, AB do triângulo ABC tais que as retas [tex3]AA_1,BB_1,CC_1[/tex3] se encontram no ponto [tex3]P_1[/tex3] e as retas [tex3]AA_2,BB_2,CC_2[/tex3] se encontram no ponto [tex3]P_2[/tex3]
Se
[tex3]\frac{BA_k}{A_kC}=\frac{p_k}{n_k},\frac{CB_k}{B_kA}=\frac{m_k}{p_k},\frac{AC_k}{C_kB}=\frac{n_k}{m_k},k=1,2[/tex3]
onde [tex3]m_k,n_k,p_k[/tex3] são reais não nulos, k = 1,2 e [tex3]S_k=m_k+n_k+p_k[/tex3] então
[tex3](P_1P_2)^2=\frac{1}{S_1^2S_2^2}\left(S_1S_2\sum_{cyc}^{}(n_1p_2+p_1n_2)\alpha ^2-S_1^2\sum_{cyc}^{}n_2p_2\alpha ^2-S_2^2\sum_{cyc}^{}n_1p_1\alpha ^2\right)[/tex3]
Para esse problema, [tex3]m_1=n_1=p_1=1,m_2=\alpha ,n_2=\beta ,p_2=\gamma [/tex3]
Então
[tex3]S_1=3\\
S_2=2p\\
\sum_{cyc}^{}(n_1p_2+p_1n_2)\alpha ^2=2p^3+2pr^2-4pRr\\
S_2^2\sum_{cyc}^{}n_1p_1\alpha ^2=2p^2-2r^2-8Rr
[/tex3]
E por fim
[tex3]GI^2=(p^2+rr^2-16Rr)/9[/tex3]
Teorema: Os pontos [tex3]A_1,A_2,B_1,B_2,C_1,C_2[/tex3] estão situados sobre os lados BC, CA, AB do triângulo ABC tais que as retas [tex3]AA_1,BB_1,CC_1[/tex3] se encontram no ponto [tex3]P_1[/tex3] e as retas [tex3]AA_2,BB_2,CC_2[/tex3] se encontram no ponto [tex3]P_2[/tex3]
Se
[tex3]\frac{BA_k}{A_kC}=\frac{p_k}{n_k},\frac{CB_k}{B_kA}=\frac{m_k}{p_k},\frac{AC_k}{C_kB}=\frac{n_k}{m_k},k=1,2[/tex3]
onde [tex3]m_k,n_k,p_k[/tex3] são reais não nulos, k = 1,2 e [tex3]S_k=m_k+n_k+p_k[/tex3] então
[tex3](P_1P_2)^2=\frac{1}{S_1^2S_2^2}\left(S_1S_2\sum_{cyc}^{}(n_1p_2+p_1n_2)\alpha ^2-S_1^2\sum_{cyc}^{}n_2p_2\alpha ^2-S_2^2\sum_{cyc}^{}n_1p_1\alpha ^2\right)[/tex3]
Para esse problema, [tex3]m_1=n_1=p_1=1,m_2=\alpha ,n_2=\beta ,p_2=\gamma [/tex3]
Então
[tex3]S_1=3\\
S_2=2p\\
\sum_{cyc}^{}(n_1p_2+p_1n_2)\alpha ^2=2p^3+2pr^2-4pRr\\
S_2^2\sum_{cyc}^{}n_1p_1\alpha ^2=2p^2-2r^2-8Rr
[/tex3]
E por fim
[tex3]GI^2=(p^2+rr^2-16Rr)/9[/tex3]
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