Demonstrações

Mensagem não lida por **jvmago** » 06 Jun 2020, 14:48

Seja ABC um triangulo de lados [tex3]AB=c,BC=a,AC=b[/tex3] vamos traçar as medianas [tex3]AM ,CN[/tex3] , [tex3][/tex3] e as bissetrizes [tex3]CL,AK[/tex3] com isso determinamos que [tex3]IG=x[/tex3] ONDE [tex3]G[/tex3] é o baricentro e [tex3]I [/tex3] o incentro

AGORA VAMOS COMEÇAR DE FATO ESSA BRINCADEIRA!!!!

Olhe para o triangulo [tex3]AIM[/tex3] e notamos que o baricentro [tex3]G[/tex3] determina uma proporção na mediana [tex3]AM=m[/tex3] então por stewart temos

[tex3]AI^2*\frac{m}{3}+MI^2*\frac{2m}{3}-x²m=\frac{2m³}{9}[/tex3] simplificando

[tex3]3(AI^2+2MI^2)-2m^2=9x²[/tex3]

[tex3]4m^2=2b²+2c²-a²[/tex3]
[tex3]2m²=b²+c²-\frac{a²}{2}[/tex3] GUARDA ISSO

Por propriedade [tex3]AI²=\frac{bc(p-a)}{p}[/tex3]

Olhando para o triangulo [tex3]IBC[/tex3] temos pela mesma propriedade anterios que [tex3]BI²=\frac{ac(p-b)}{p}[/tex3] e [tex3]CI^2=\frac{ab(p-c)}{p}[/tex3] ASSIM COMO [tex3]MI[/tex3] é mediana do triangulo IBC portanto

[tex3]4MI^2=2(CI²+BI²)-a²[/tex3]
[tex3]2MI²=CI^2+BI^2-\frac{a²}{2}[/tex3] usando esse fato la em cima e simplificando!!

[tex3]9x²=3*(\frac{bc(p-a)+ac(p-b)+ab(p-c)}{p})-3a²-2(\frac{2b²+2c²-a²}{2})[/tex3]

[tex3]9px²=3(bc(p-a)+ac(p-b)+ab(p-c))-p(a²+b²+c²)[/tex3]

[tex3]9px²=3(p(ab+bc+ac)-3abc)-p(a²+b²+c²)[/tex3] sabemos que [tex3]abc=p*4Rr[/tex3]

[tex3]9px²=3(p(ab+bc+ac)-12p*Rr)-p(a²+b²+c²)[/tex3] dividendo por [tex3]p[/tex3]

[tex3]9x²=3(ab+bc+ac)-36Rr-(a²+b²+c²)[/tex3] Nesse ponto do problema, INVOCO A TIA ALGEBRA

[tex3]9x²=3(ab+bc+ac)-36Rr-((a+b+c)^2-2(ab+bc+ac))[/tex3]
[tex3]9x²=3(ab+bc+ac)-36Rr-(4p²-2(ab+bc+ac))[/tex3]
[tex3]9x²=-4p^2+5(ab+ac+bc)-36Rr[/tex3]

TEOREMA NÃO FALADO

[tex3]cos(\frac{A}{2})=\sqrt{\frac{p(p-a)}{bc}}[/tex3] [tex3]cos(\frac{B}{2})=\sqrt{\frac{p(p-b)}{ac}}[/tex3] [tex3]cos(\frac{C}{2})=\sqrt{\frac{p(p-c)}{ab}}[/tex3]

Trace o segmento [tex3]ID=r,IE=r,IF=r[/tex3] com [tex3]D,E,F[/tex3] EM [tex3]AB,BC,AC[/tex3]

Usando trigonometria nesses triangulo, vemos que [tex3]AD=p-a[/tex3] aplicando pitagoras em [tex3]AID[/tex3] temos:

[tex3]r^2=\frac{bc(p-a)}{p}-(p-a)^2[/tex3]
[tex3]pr^2=bc(p-a)-p(p-a)^2[/tex3] DE MANEIRA ANALOGA NOS TRIANGULOS [tex3]BIE,CIE[/tex3] temos

[tex3]pr²=ac(p-b)-p(p-b)^2[/tex3]

[tex3]pr²=ab(p-c)-p(p-c)^2[/tex3]

Somando as três equações temos

[tex3]3pr²=ab(p-c)+ac(p-b)+bc(p-a)-p((p-a)^2+(p-b)^2+(p-c)^2)[/tex3] ALGEBRANDO

[tex3]3pr²=p(ab+ac+bc)-3abc-p*(3p²-2p(a+b+c)+a²+b²+c²)[/tex3]

[tex3]3pr²=p(ab+ac+bc)-12p*Rr-p*(3p²-4p²+a²+b²+c²)[/tex3]

[tex3]3r²=ab+ac+bc-12Rr-(-p²+a²+b²+c²)[/tex3] sabemos que [tex3]2p=a+b+c[/tex3] ALGEBRANDO DE NOVO

[tex3]3r²=ab+ac+bc-12Rr-(\frac{-a²-b²-c²+4a²+4b²+4c²-2(ab+bc+ac)}{4})[/tex3]

[tex3]3r²=ab+ac+bc-12Rr-(\frac{3(a²+b²+c²)-2(ab+bc+ac)}{4})[/tex3]

[tex3]3r²=ab+ac+bc-12Rr-(\frac{3*4p²-6(ab+ac+bc)-2(ab+bc+ac)}{4})[/tex3]

[tex3]3r²=ab+ac+bc-12Rr-(3p²-2(ab+ac+bc))[/tex3] POR FIM

[tex3]r²=(ab+bc+ac)-4Rr-p²[/tex3]
[tex3]ab+ac+bc=r²+4Rr+p²[/tex3] olha que resultado interessante!!!! USANDO ISSO LA NO INICIO

[tex3]9x²=-4p^2+5(ab+ac+bc)-36Rr[/tex3]
[tex3]9x²=-4p^2+5(r²+4Rr+p²)-36Rr[/tex3]
[tex3]9x²=p²+5r²-16Rr[/tex3]

[tex3]PIMBADA[/tex3]

Demonstração por complexos/analítica usando coordenadas baricêntricas:

Teorema: Os pontos [tex3]A_1,A_2,B_1,B_2,C_1,C_2[/tex3] estão situados sobre os lados BC, CA, AB do triângulo ABC tais que as retas [tex3]AA_1,BB_1,CC_1[/tex3] se encontram no ponto [tex3]P_1[/tex3] e as retas [tex3]AA_2,BB_2,CC_2[/tex3] se encontram no ponto [tex3]P_2[/tex3]
Se
[tex3]\frac{BA_k}{A_kC}=\frac{p_k}{n_k},\frac{CB_k}{B_kA}=\frac{m_k}{p_k},\frac{AC_k}{C_kB}=\frac{n_k}{m_k},k=1,2[/tex3]

onde [tex3]m_k,n_k,p_k[/tex3] são reais não nulos, k = 1,2 e [tex3]S_k=m_k+n_k+p_k[/tex3] então
[tex3](P_1P_2)^2=\frac{1}{S_1^2S_2^2}\left(S_1S_2\sum_{cyc}^{}(n_1p_2+p_1n_2)\alpha ^2-S_1^2\sum_{cyc}^{}n_2p_2\alpha ^2-S_2^2\sum_{cyc}^{}n_1p_1\alpha ^2\right)[/tex3]

Para esse problema, [tex3]m_1=n_1=p_1=1,m_2=\alpha ,n_2=\beta ,p_2=\gamma [/tex3]
Então
[tex3]S_1=3\\
S_2=2p\\
\sum_{cyc}^{}(n_1p_2+p_1n_2)\alpha ^2=2p^3+2pr^2-4pRr\\
S_2^2\sum_{cyc}^{}n_1p_1\alpha ^2=2p^2-2r^2-8Rr
[/tex3]

E por fim
[tex3]GI^2=(p^2+rr^2-16Rr)/9[/tex3]

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(Demonstração) Distancia entre o Incentro e o Baricentro

Re: (Demonstração) Distancia entre o Incentro e o Baricentro

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