Demonstrações(Demonstração) Distancia entre o Circuncentro e o Incentro

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Se você quiser postar uma demonstração aqui, poste, inicialmente, no fórum correspondente utilizando o título "Demonstração Teorema X" e substitua com o nome do teorema/fórmula que você postou e, depois, envie o link para um moderador pedindo para sua mensagem ser movida para o fórum "Demonstrações". Somente moderadores poderão mover sua mensagem para este fórum.

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jvmago
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Jun 2020 06 13:38

(Demonstração) Distancia entre o Circuncentro e o Incentro

Mensagem não lida por jvmago »

Esboçe um triangulo [tex3]ABC[/tex3] qualquer tal que [tex3]R,r[/tex3] são os raios da circunferencia circunscrita e inscrita, respectivament, [tex3]I[/tex3] seja seu incentro, [tex3]O[/tex3] o circuncentro, [tex3]D[/tex3] o ponto de tangencia, em [tex3]BC[/tex3] , da circunferencia inscrita PARTIU!!

PEDE-SE [tex3]OI[/tex3]

Prolongue [tex3]BI[/tex3] até o ponto [tex3]Q[/tex3] pertencente a cicunferencia, aplicando potencia de ponto em [tex3]I[/tex3]

[tex3]R²-x²=BI*IQ[/tex3]

Trace [tex3]AQ[/tex3] e temos por propriedade do incentro que [tex3]BI=AQ[/tex3]

Trace [tex3]OQ=R[/tex3] e [tex3]OK[/tex3] perpendicular a [tex3]AQ[/tex3] tal que [tex3]KQ=\frac{AQ}{2}=\frac{BI}{2}[/tex3]

Por fim, NOte que [tex3]\Delta IBD[/tex3] ~ [tex3]\Delta ORQ[/tex3]

[tex3]\frac{BI}{R}=\frac{r}{KQ}[/tex3]
[tex3]\frac{BI*AQ}{2}=Rr[/tex3]
[tex3]BI*AQ=2Rr[/tex3]

TAL QUE ESTÁ VERIFICADO
[tex3]x=\sqrt{R²-2Rr}[/tex3]



Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.

Movido de IME / ITA para Demonstrações em Ter 09 Jun, 2020 14:04 por MateusQqMD

Deleted User 23699
6 - Doutor
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Abr 2021 12 08:10

Re: (Demonstração) Distancia entre o Circuncentro e o Incentro

Mensagem não lida por Deleted User 23699 »

Demonstração por complexos/analítica, conforme apresentado por Titu Andreescu:

Sejam a, b, c as coordenadas no plano complexo de três pontos genéricos A, B, C, não colineares.
O triângulo ABC possui lados de comprimento alfa, beta e gama.
A princípio, sabemos que a coordenada do incentro do triângulo é:
[tex3]Z_I=\frac{\alpha a+\beta b+\gamma c}{\alpha+ \beta+ \gamma }[/tex3]
Seja o circuncentro O nosso ponto (0,0), arbitrário para facilitar contas

Então
[tex3]OI^2=|Z_I|^2=\frac{1}{4p^2}(\alpha +\beta +\gamma )^2R^2+2\frac{1}{4p^2}\sum_{cyc}^{}(\alpha \beta )a\bullet b[/tex3]

Onde [tex3]a\bullet b=\left(\frac{\overline{a}b+a\overline{b}}{2}\right)[/tex3] é denominado produto real complexo, uma analogia com o produto escalar entre vetores.

Agora é necessário usar o lema:
[tex3]a\bullet b=R^2-\frac{\gamma ^2}{2}[/tex3]
e análogos, demonstrado usando propriedades do produto real

Disso, encontramos que
[tex3]OI^2=\frac{1}{4p^2}(\alpha ^2+\beta ^2+\gamma ^2)R^2+\frac{2}{4p^2}\sum_{cyc}^{}\alpha \beta \left(R^2-\frac{\gamma ^2}{2}\right)\\
OI^2=R^2-\frac{1}{4p^2}\alpha \beta \gamma (\alpha+ \beta+ \gamma)\\
OI^2=R^2-2Rr [/tex3]




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