Esboçe um triangulo [tex3]ABC[/tex3]
qualquer tal que [tex3]R,r[/tex3]
são os raios da circunferencia circunscrita e inscrita, respectivament, [tex3]I[/tex3]
seja seu incentro, [tex3]O[/tex3]
o circuncentro, [tex3]D[/tex3]
o ponto de tangencia, em [tex3]BC[/tex3]
, da circunferencia inscrita PARTIU!!
PEDE-SE [tex3]OI[/tex3]
Prolongue [tex3]BI[/tex3]
até o ponto [tex3]Q[/tex3]
pertencente a cicunferencia, aplicando potencia de ponto em [tex3]I[/tex3]
[tex3]R²-x²=BI*IQ[/tex3]
Trace [tex3]AQ[/tex3]
e temos por propriedade do incentro que [tex3]BI=AQ[/tex3]
Trace [tex3]OQ=R[/tex3]
e [tex3]OK[/tex3]
perpendicular a [tex3]AQ[/tex3]
tal que [tex3]KQ=\frac{AQ}{2}=\frac{BI}{2}[/tex3]
Por fim, NOte que [tex3]\Delta IBD[/tex3]
~ [tex3]\Delta ORQ[/tex3]
[tex3]\frac{BI}{R}=\frac{r}{KQ}[/tex3]
[tex3]\frac{BI*AQ}{2}=Rr[/tex3]
[tex3]BI*AQ=2Rr[/tex3]
TAL QUE ESTÁ VERIFICADO
[tex3]x=\sqrt{R²-2Rr}[/tex3]
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Demonstrações ⇒ (Demonstração) Distancia entre o Circuncentro e o Incentro
Moderador: [ Moderadores TTB ]
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jvmago
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Jun 2020
06
13:38
(Demonstração) Distancia entre o Circuncentro e o Incentro
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
-
Deleted User 23699
- Última visita: 31-12-69
Abr 2021
12
08:10
Re: (Demonstração) Distancia entre o Circuncentro e o Incentro
Demonstração por complexos/analítica, conforme apresentado por Titu Andreescu:
Sejam a, b, c as coordenadas no plano complexo de três pontos genéricos A, B, C, não colineares.
O triângulo ABC possui lados de comprimento alfa, beta e gama.
A princípio, sabemos que a coordenada do incentro do triângulo é:
[tex3]Z_I=\frac{\alpha a+\beta b+\gamma c}{\alpha+ \beta+ \gamma }[/tex3]
Seja o circuncentro O nosso ponto (0,0), arbitrário para facilitar contas
Então
[tex3]OI^2=|Z_I|^2=\frac{1}{4p^2}(\alpha +\beta +\gamma )^2R^2+2\frac{1}{4p^2}\sum_{cyc}^{}(\alpha \beta )a\bullet b[/tex3]
Onde [tex3]a\bullet b=\left(\frac{\overline{a}b+a\overline{b}}{2}\right)[/tex3] é denominado produto real complexo, uma analogia com o produto escalar entre vetores.
Agora é necessário usar o lema:
[tex3]a\bullet b=R^2-\frac{\gamma ^2}{2}[/tex3]
e análogos, demonstrado usando propriedades do produto real
Disso, encontramos que
[tex3]OI^2=\frac{1}{4p^2}(\alpha ^2+\beta ^2+\gamma ^2)R^2+\frac{2}{4p^2}\sum_{cyc}^{}\alpha \beta \left(R^2-\frac{\gamma ^2}{2}\right)\\
OI^2=R^2-\frac{1}{4p^2}\alpha \beta \gamma (\alpha+ \beta+ \gamma)\\
OI^2=R^2-2Rr [/tex3]
Sejam a, b, c as coordenadas no plano complexo de três pontos genéricos A, B, C, não colineares.
O triângulo ABC possui lados de comprimento alfa, beta e gama.
A princípio, sabemos que a coordenada do incentro do triângulo é:
[tex3]Z_I=\frac{\alpha a+\beta b+\gamma c}{\alpha+ \beta+ \gamma }[/tex3]
Seja o circuncentro O nosso ponto (0,0), arbitrário para facilitar contas
Então
[tex3]OI^2=|Z_I|^2=\frac{1}{4p^2}(\alpha +\beta +\gamma )^2R^2+2\frac{1}{4p^2}\sum_{cyc}^{}(\alpha \beta )a\bullet b[/tex3]
Onde [tex3]a\bullet b=\left(\frac{\overline{a}b+a\overline{b}}{2}\right)[/tex3] é denominado produto real complexo, uma analogia com o produto escalar entre vetores.
Agora é necessário usar o lema:
[tex3]a\bullet b=R^2-\frac{\gamma ^2}{2}[/tex3]
e análogos, demonstrado usando propriedades do produto real
Disso, encontramos que
[tex3]OI^2=\frac{1}{4p^2}(\alpha ^2+\beta ^2+\gamma ^2)R^2+\frac{2}{4p^2}\sum_{cyc}^{}\alpha \beta \left(R^2-\frac{\gamma ^2}{2}\right)\\
OI^2=R^2-\frac{1}{4p^2}\alpha \beta \gamma (\alpha+ \beta+ \gamma)\\
OI^2=R^2-2Rr [/tex3]
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