Demonstrações(Demonstração) Teorema de Steiner e suas consequências

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jvmago
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Mai 2020 23 08:42

(Demonstração) Teorema de Steiner e suas consequências

Mensagem não lida por jvmago »

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TESES
[tex3]r_a+r_b+r_c=4R+r[/tex3]
[tex3]f_a+f_b+f_c=R-r[/tex3]
[tex3]OX+OY+OZ=R+r[/tex3] (distância do circuncentro aos lados)

Essa demonstração precisa de uma teorema prévio:

Seja ABCD um trapézio tal que AB=a e CD=b
ENTÃO a distância d entre os pontos médios das diagonais será dada por [tex3]2d=b-a[/tex3] para demonstrar isso basta usar base média no triângulo ABD e em seguida no triângulo ADC.


Pela figura, vemos que o triângulo MNP' é excentricial (vértices coincidêntes com os excentros)

Pela propriedade das das tangentes, percebe-se que PB=QC

Traçando OX, com X em BC, esta encontrará a circunferência no ponto D tal que [tex3]XD=f_a[/tex3]

Seja O' o incentro traçamos O'X' onde X' é o ponto de tangencia do lado BC


Trace [tex3]P'K=r_a[/tex3] e perceba que [tex3]BX'=KC[/tex3] então olhando o trapézio X'O'P'K temos

[tex3]2f_a=r_a-r[/tex3] de maneira análoga nos outros lados
[tex3]2f_b=r_b-r[/tex3]
[tex3]2f_c=r_c-r[/tex3]

Somando
[tex3]2(f_a+f_b+f_c)=r_a+r_b+r_c-3r[/tex3] guardemos isso

Lá no início, vimos que PB=QC mas BX=XC então PX=XQ !!!

Traçando XX' com X' em MN temos no trapézio PMNQ que XX' é base média e portanto temos

[tex3]2R+2OX=r_c+r_b[/tex3]

Note que [tex3]f_a=R-OX[/tex3] e pela conclusão anterior

[tex3]2R-2OX=r_a-r[/tex3] somando com a anterior provamos que

[tex3]r_a+r_b+r_c=4R+r[/tex3]


[tex3]2(f_a+f_b+f_c)=r_a+r_b+r_c-3r[/tex3] substituindo aqui

[tex3]f_a+f_b+f_c=2R-r[/tex3] como queríamos provar


Sabemos que [tex3]OX=R-f_a[/tex3]
[tex3]OY=R-f_b[/tex3] e [tex3]OZ=R-f_c[/tex3]

Somando as 3 teremos
[tex3]OX+OY+OZ=3R-f_a+f_b+f_c[/tex3]
[tex3]OX+OY+OZ=R+r[/tex3] como queríamos


CASO ESPECIAL

Se BaC é obtusangulo então
[tex3]OZ+OY-OX=R+r[/tex3] esta demonstração fica a cargo do leitor

PIMBADA SENHORAS E SEMHORES

Última edição: jvmago (Sáb 23 Mai, 2020 08:49). Total de 1 vez.


Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.

Movido de IME / ITA para Demonstrações em Sáb 23 Mai, 2020 09:31 por Jigsaw

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