Vou demonstrar através de noções básicas de geometria (sem usar lei dos senos, cossenos ou geometria analítica) as propriedades mais importantes a respeito dos dois lugares geométricos citados. Sem essas propriedades é muito difícil entender algumas soluções de geometria e resolver os problemas de geometria plana.
1-)A bissetriz é o lugar geométrico dos pontos no plano que são equidistantes a duas retas concorrentes.
Um lugar geométrico [tex3]\mathcal L[/tex3]
é o conjunto de TODOS os pontos (do plano) que compartilham uma propriedade [tex3]\mathcal P[/tex3]
.
Ou seja: todos os pontos de [tex3]\mathcal L[/tex3]
satisfazem a propriedade [tex3]\mathcal P[/tex3]
e nenhum ponto fora de [tex3]\mathcal L[/tex3]
possui essa propriedade.
Sejam duas retas [tex3]r[/tex3]
e [tex3]s[/tex3]
concorrentes em [tex3]P = r \cap s[/tex3]
.
A bissetriz é um par de retas [tex3]b_1[/tex3]
e [tex3]b_2[/tex3]
, também concorrentes em [tex3]P[/tex3]
, tais que cada uma destas retas dividem os ângulos formados por [tex3]r[/tex3]
e [tex3]s[/tex3]
na metade.
Note que como [tex3]\alpha + \beta = 180^{\degree}[/tex3]
então [tex3]\frac {\alpha}2 + \frac{\beta}2 = 90^{\degree}[/tex3]
o que significa que [tex3]b_1[/tex3]
e [tex3]b_2[/tex3]
são perpendiculares entre si.
Para a minha demonstração vou usar apenas uma das retas da bissetriz (no caso [tex3]b_1[/tex3]
) a demonstração para a outra reta é absolutamente análoga.
- ida: se o ponto [tex3]X[/tex3] está em [tex3]b_1[/tex3] então [tex3]X[/tex3] equidista de [tex3]r[/tex3] e [tex3]s[/tex3].
A distância de um ponto a uma reta é o comprimento da altura deste ponto à reta.
Sejam então [tex3]X_r[/tex3]
o pé da altura de [tex3]X[/tex3]
em relação a reta [tex3]r[/tex3]
e [tex3]X_s[/tex3]
o pé da altura de [tex3]X[/tex3]
em relação a reta [tex3]s[/tex3]
.
Então repare que os triângulos [tex3]\triangle XX_rP[/tex3]
e [tex3]\triangle XX_sP[/tex3]
possuem os ângulos iguais, já que ambos são triângulos retângulos e com um ângulo [tex3]\frac {\beta}2[/tex3]
.
Logo são triângulos semelhantes.
Além disto, a hipotenusa desses triângulos é a mesma ([tex3]PX[/tex3]
), logo a razão de semelhança é [tex3]1[/tex3]
e então os triângulos são congruentes (iguais) de onde [tex3]\overline{XX_r} = \overline{XX_s}[/tex3]
e então [tex3]X[/tex3]
equidista de [tex3]r[/tex3]
e de [tex3]s[/tex3]
.
- volta: se o ponto [tex3]X[/tex3] está no plano e [tex3]X[/tex3] equidista de [tex3]r[/tex3] e [tex3]s[/tex3] então [tex3]X[/tex3] está na bissetriz.
Lembrando que estou usando só [tex3]b_1[/tex3]
(a reta que divide o ângulo agudo), mas a demonstração vale para [tex3]b_2[/tex3]
também.
Vamos supor que [tex3]X[/tex3]
é um ponto qualquer da região compreendida no ângulo agudo formado por [tex3]r[/tex3]
e [tex3]s[/tex3]
tal que [tex3]X[/tex3]
equidista de [tex3]r[/tex3]
e [tex3]s[/tex3]
.
Ou seja: seja [tex3]X[/tex3]
um ponto qualquer tal que [tex3]\overline{XX_r} = \overline{XX_s}[/tex3]
.
Tracemos então [tex3]XP[/tex3]
.
Repare que os triângulos retângulos [tex3]\triangle XX_rP[/tex3]
e [tex3]\triangle XX_sP[/tex3]
possuem mesmo cateto [tex3]\overline{XX_r} = \overline{XX_s}[/tex3]
e mesma hipotenusa [tex3]XP[/tex3]
.
Isso configura um tipo especial de congruência do triângulo retângulo.
Veja que, por Pitágoras (lembre-se que Pitágoras é consequência de semelhança de triângulos), devemos ter [tex3]\overline{X_rP} = \overline{X_sP}[/tex3]
.
Então os triângulos [tex3]\triangle XX_rP[/tex3]
e [tex3]\triangle XX_sP[/tex3]
são congruentes por terem todos os três lados iguais.
Logo [tex3]\angle X_rPX = \angle X_sPX \implies X \in b_1[/tex3]
.
Por isso que uma família de círculos tangentes ao mesmo tempo a duas retas concorrentes possui todos os centros dos círculos alinhados entre si (essa linha é a bissetriz das duas retas).
Por isso que o incentro de um triângulo qualquer existe.
2-)A mediatriz de um segmento [tex3]AB[/tex3] é o lugar geométrico dos pontos [tex3]X[/tex3] do plano que equidistam dos pontos [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3].
Dados dois pontos [tex3]A[/tex3]
e [tex3]B[/tex3]
distintos no plano, chamamos de mediatriz [tex3]m[/tex3]
a reta que passa pelo ponto médio [tex3]M[/tex3]
do segmento [tex3]AB[/tex3]
e é perpendicular ao segmento.
- ida: Se [tex3]X \in m[/tex3] então [tex3]\overline{XA} = \overline{XB}[/tex3].
Note que [tex3]\triangle AMX[/tex3]
e [tex3]\triangle BMX[/tex3]
são dois triângulos retângulos com dois catetos iguais [tex3]\overline{AM} = \overline{BM}[/tex3]
e [tex3]MX[/tex3]
em comum.
De Pitágoras, vem que [tex3]\overline{XA} = \overline{XB}[/tex3]
e os triângulos retângulos são congruentes.
-volta: Se [tex3]X[/tex3] é qualquer e [tex3]\overline{XA} = \overline{XB}[/tex3] então [tex3]X \in m[/tex3].
Se [tex3]\overline{XA} = \overline{XB}[/tex3]
então os triângulos [tex3]\triangle AMX[/tex3]
e [tex3]\triangle BMX[/tex3]
possuem todos os três lados iguais pois [tex3]\overline{AM} = \overline{BM}[/tex3]
e possuem [tex3]MX[/tex3]
em comum. Logo são congruentes por [tex3]L-L-L[/tex3]
.
Logo os ângulos dos triângulos [tex3]\triangle AMX[/tex3]
e [tex3]\triangle BMX[/tex3]
são iguais também em particular [tex3]\angle AMX = \angle BMX[/tex3]
porém como [tex3]\angle AMX + \angle BMX = 180 ^{\degree} \implies 2 \cdot \angle AMX = 180{\degree} \iff \angle AMX = 90^{\degree} \implies X \in m[/tex3]
.
Por isso que o centro de um círculo está sempre na mediatriz de qualquer uma de suas cordas.
Por isso que o circuncentro de um triângulo qualquer existe.
Demonstrações ⇒ Demonstração - Bissetriz e mediatriz como lugares geométricos
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Demonstração - Bissetriz e mediatriz como lugares geométricos
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