DemonstraçõesDemonstração - Bissetriz e mediatriz como lugares geométricos

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Auto Excluído (ID:24303)
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Abr 2020 13 20:58

Demonstração - Bissetriz e mediatriz como lugares geométricos

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:24303) »

Vou demonstrar através de noções básicas de geometria (sem usar lei dos senos, cossenos ou geometria analítica) as propriedades mais importantes a respeito dos dois lugares geométricos citados. Sem essas propriedades é muito difícil entender algumas soluções de geometria e resolver os problemas de geometria plana.

1-)A bissetriz é o lugar geométrico dos pontos no plano que são equidistantes a duas retas concorrentes.

Um lugar geométrico [tex3]\mathcal L[/tex3] é o conjunto de TODOS os pontos (do plano) que compartilham uma propriedade [tex3]\mathcal P[/tex3] .
Ou seja: todos os pontos de [tex3]\mathcal L[/tex3] satisfazem a propriedade [tex3]\mathcal P[/tex3] e nenhum ponto fora de [tex3]\mathcal L[/tex3] possui essa propriedade.
Sejam duas retas [tex3]r[/tex3] e [tex3]s[/tex3] concorrentes em [tex3]P = r \cap s[/tex3] .
A bissetriz é um par de retas [tex3]b_1[/tex3] e [tex3]b_2[/tex3] , também concorrentes em [tex3]P[/tex3] , tais que cada uma destas retas dividem os ângulos formados por [tex3]r[/tex3] e [tex3]s[/tex3] na metade.
bissetriz.png
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Note que como [tex3]\alpha + \beta = 180^{\degree}[/tex3] então [tex3]\frac {\alpha}2 + \frac{\beta}2 = 90^{\degree}[/tex3] o que significa que [tex3]b_1[/tex3] e [tex3]b_2[/tex3] são perpendiculares entre si.
Para a minha demonstração vou usar apenas uma das retas da bissetriz (no caso [tex3]b_1[/tex3] ) a demonstração para a outra reta é absolutamente análoga.

- ida: se o ponto [tex3]X[/tex3] está em [tex3]b_1[/tex3] então [tex3]X[/tex3] equidista de [tex3]r[/tex3] e [tex3]s[/tex3].
A distância de um ponto a uma reta é o comprimento da altura deste ponto à reta.
Sejam então [tex3]X_r[/tex3] o pé da altura de [tex3]X[/tex3] em relação a reta [tex3]r[/tex3] e [tex3]X_s[/tex3] o pé da altura de [tex3]X[/tex3] em relação a reta [tex3]s[/tex3] .
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bissetriz2.png (23.99 KiB) Exibido 1835 vezes
Então repare que os triângulos [tex3]\triangle XX_rP[/tex3] e [tex3]\triangle XX_sP[/tex3] possuem os ângulos iguais, já que ambos são triângulos retângulos e com um ângulo [tex3]\frac {\beta}2[/tex3] .
Logo são triângulos semelhantes.
Além disto, a hipotenusa desses triângulos é a mesma ([tex3]PX[/tex3] ), logo a razão de semelhança é [tex3]1[/tex3] e então os triângulos são congruentes (iguais) de onde [tex3]\overline{XX_r} = \overline{XX_s}[/tex3] e então [tex3]X[/tex3] equidista de [tex3]r[/tex3] e de [tex3]s[/tex3] .

- volta: se o ponto [tex3]X[/tex3] está no plano e [tex3]X[/tex3] equidista de [tex3]r[/tex3] e [tex3]s[/tex3] então [tex3]X[/tex3] está na bissetriz.
Lembrando que estou usando só [tex3]b_1[/tex3] (a reta que divide o ângulo agudo), mas a demonstração vale para [tex3]b_2[/tex3] também.
Vamos supor que [tex3]X[/tex3] é um ponto qualquer da região compreendida no ângulo agudo formado por [tex3]r[/tex3] e [tex3]s[/tex3] tal que [tex3]X[/tex3] equidista de [tex3]r[/tex3] e [tex3]s[/tex3] .
Ou seja: seja [tex3]X[/tex3] um ponto qualquer tal que [tex3]\overline{XX_r} = \overline{XX_s}[/tex3] .
Tracemos então [tex3]XP[/tex3] .
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Repare que os triângulos retângulos [tex3]\triangle XX_rP[/tex3] e [tex3]\triangle XX_sP[/tex3] possuem mesmo cateto [tex3]\overline{XX_r} = \overline{XX_s}[/tex3] e mesma hipotenusa [tex3]XP[/tex3] .
Isso configura um tipo especial de congruência do triângulo retângulo.
Veja que, por Pitágoras (lembre-se que Pitágoras é consequência de semelhança de triângulos), devemos ter [tex3]\overline{X_rP} = \overline{X_sP}[/tex3] .
Então os triângulos [tex3]\triangle XX_rP[/tex3] e [tex3]\triangle XX_sP[/tex3] são congruentes por terem todos os três lados iguais.
Logo [tex3]\angle X_rPX = \angle X_sPX \implies X \in b_1[/tex3] .

Por isso que uma família de círculos tangentes ao mesmo tempo a duas retas concorrentes possui todos os centros dos círculos alinhados entre si (essa linha é a bissetriz das duas retas).
Por isso que o incentro de um triângulo qualquer existe.

2-)A mediatriz de um segmento [tex3]AB[/tex3] é o lugar geométrico dos pontos [tex3]X[/tex3] do plano que equidistam dos pontos [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3].
Dados dois pontos [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3] distintos no plano, chamamos de mediatriz [tex3]m[/tex3] a reta que passa pelo ponto médio [tex3]M[/tex3] do segmento [tex3]AB[/tex3] e é perpendicular ao segmento.

- ida: Se [tex3]X \in m[/tex3] então [tex3]\overline{XA} = \overline{XB}[/tex3].
mediatriz.png
mediatriz.png (21.52 KiB) Exibido 1835 vezes
Note que [tex3]\triangle AMX[/tex3] e [tex3]\triangle BMX[/tex3] são dois triângulos retângulos com dois catetos iguais [tex3]\overline{AM} = \overline{BM}[/tex3] e [tex3]MX[/tex3] em comum.
De Pitágoras, vem que [tex3]\overline{XA} = \overline{XB}[/tex3] e os triângulos retângulos são congruentes.

-volta: Se [tex3]X[/tex3] é qualquer e [tex3]\overline{XA} = \overline{XB}[/tex3] então [tex3]X \in m[/tex3].
Se [tex3]\overline{XA} = \overline{XB}[/tex3] então os triângulos [tex3]\triangle AMX[/tex3] e [tex3]\triangle BMX[/tex3] possuem todos os três lados iguais pois [tex3]\overline{AM} = \overline{BM}[/tex3] e possuem [tex3]MX[/tex3] em comum. Logo são congruentes por [tex3]L-L-L[/tex3] .
Logo os ângulos dos triângulos [tex3]\triangle AMX[/tex3] e [tex3]\triangle BMX[/tex3] são iguais também em particular [tex3]\angle AMX = \angle BMX[/tex3] porém como [tex3]\angle AMX + \angle BMX = 180 ^{\degree} \implies 2 \cdot \angle AMX = 180{\degree} \iff \angle AMX = 90^{\degree} \implies X \in m[/tex3] .

Por isso que o centro de um círculo está sempre na mediatriz de qualquer uma de suas cordas.
Por isso que o circuncentro de um triângulo qualquer existe.

Última edição: Auto Excluído (ID:24303) (Seg 13 Abr, 2020 21:13). Total de 2 vezes.



Movido de Ensino Médio para Demonstrações em Ter 14 Abr, 2020 00:24 por MateusQqMD

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