Dado um triângulo [tex3]\triangle ABC[/tex3]
Chamemos de [tex3]H_A[/tex3]
o pé da altura do vértice [tex3]A[/tex3]
em relação ao lado [tex3]BC[/tex3]
.
Analogamente se definem [tex3]H_B[/tex3]
e [tex3]H_C[/tex3]
.
O triângulo [tex3]\triangle H_AH_BH_C[/tex3]
é denominado triângulo órtico de [tex3]\triangle ABC[/tex3]
.
Vou fazer minhas demonstrações para o triângulo [tex3]\triangle ABC[/tex3]
acutângulo, mas é fácil ver que no triângulo [tex3]\triangle ABC[/tex3]
retângulo o triângulo órtico se degenera e para o triângulo [tex3]\triangle ABC[/tex3]
obtusângulo as demonstrações são muito semelhantes (basta enxergar o vértice do ângulo obtuso como sendo ortocentro do triângulo [tex3]\triangle ABC[/tex3]
e o ortocentro como sendo vértice).
1-) Os ângulos do triângulo órtico:
No triângulo órtico [tex3]\angle H_BH_AH_C = 180^{\degree} - 2 \cdot \angle BAC[/tex3]
.
Prova:
Seja [tex3]H[/tex3]
o ortocentro de [tex3]\triangle ABC[/tex3]
então o quadrilátero [tex3]CH_BHH_A[/tex3]
é cíclico pois [tex3]\angle CH_BH + \angle CH_AH = 90^{\degree} + 90^{\degree} = 180^{\degree}[/tex3]
Então [tex3]\angle HH_AH_B = \angle HCH_B = \angle H_C CA = 90^{\degree} - \angle BAC[/tex3]
Analogamente o quadrilátero [tex3]BH_AHH_C[/tex3]
é cíclico de onde [tex3]\angle HH_AH_C = \angle HBH_C = 90^{\degree} - \angle BAC[/tex3]
.
Logo:
[tex3]\angle H_BH_AH_C = \angle H_BH_A H + \angle H H_AH_C = (90^{\degree} - \angle BAC) + (90^{\degree} -\angle BAC) = 180^{\degree} -2 \cdot \angle BAC[/tex3]
.
Além disso a reta [tex3]AH[/tex3]
é bissetriz do ângulo [tex3]\angle H_BH_AH_C[/tex3]
.
Analogamente a reta [tex3]BH[/tex3]
é bissetriz do ângulo [tex3]\angle H_AH_BH_C[/tex3]
o que significa que:
[tex3]H[/tex3] é incentro de [tex3]\triangle H_AH_BH_C[/tex3]. O ortocentro de um triângulo acutângulo é o incentro de seu triângulo órtico.
2-) Os lados do triângulo órtico:
Definamos os lados do [tex3]\triangle ABC[/tex3]
.
[tex3]a = BC[/tex3]
[tex3]b = AC[/tex3]
[tex3]c = AB[/tex3]
Então [tex3]H_AH_B = c \cos (\angle ACB)[/tex3]
, [tex3]H_BH_C = a \cos (\angle CAB)[/tex3]
e [tex3]H_AH_C = b \cos (\angle ABC)[/tex3]
.
Prova:
Como foi demonstrado que [tex3]\angle AH_AH_B = 90^{\degree} - \angle BAC[/tex3]
então [tex3]\angle H_BH_AC = \angle BAC[/tex3]
.
Então [tex3]\triangle H_BH_AC[/tex3]
tem um ângulo [tex3]\angle BAC[/tex3]
, outro ângulo [tex3]\angle ACB[/tex3]
e portanto o terceiro ângulo vale [tex3]\angle ABC[/tex3]
. Sendo assim [tex3]\triangle H_BH_AC \sim \triangle BAC[/tex3]
.
A razão de semelhança pode ser encontrada olhando para os lados opostos aos ângulos [tex3]\angle ABC[/tex3]
nos dois triângulos:
[tex3]\frac{CH_A}{AC} = \cos( \angle ACB) = \frac{H_AH_B}{AB} \implies H_AH_B = c \cos (\angle ACB)[/tex3]
.
Os outros resultados são análogos.
3-) O circuncírculo do triângulo órtico:
O circuncírculo do triângulo órtico é o círculo dos nove pontos do triângulo [tex3]\triangle ABC[/tex3]
.
Sabemos (pelo link) que este círculo também é cincuncírculo do triângulo medial do triângulo [tex3]\triangle ABC[/tex3]
(triângulo medial é o triângulo formado pelos pontos médios dos lados de um triângulo) e, por semelhança, seu raio deve valer metade do raio do circuncírculo do [tex3]\triangle ABC[/tex3]
.
Logo [tex3]R_{\triangle H_AH_BH_C} = \frac12 R_{\triangle ABC}[/tex3]
.
toma-se os pés das alturas de cada vértice em relação ao seu lado oposto.Demonstrações ⇒ Demonstração - Propriedades elementares do Triângulo Órtico
Moderador: [ Moderadores TTB ]
-
- Tópicos Semelhantes
- Respostas
- Exibições
- Última msg
-
- 0 Respostas
- 482 Exibições
-
Última msg por FelipeMartin
-
- 1 Respostas
- 615 Exibições
-
Última msg por Ittalo25