DemonstraçõesDemonstração - Propriedades elementares do Triângulo Órtico

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Auto Excluído (ID:24303)
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Abr 2020 12 07:58

Demonstração - Propriedades elementares do Triângulo Órtico

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:24303) »

Dado um triângulo [tex3]\triangle ABC[/tex3] toma-se os pés das alturas de cada vértice em relação ao seu lado oposto.
Chamemos de [tex3]H_A[/tex3] o pé da altura do vértice [tex3]A[/tex3] em relação ao lado [tex3]BC[/tex3] .
Analogamente se definem [tex3]H_B[/tex3] e [tex3]H_C[/tex3] .
órtico.jpg
órtico.jpg (12.17 KiB) Exibido 2383 vezes
O triângulo [tex3]\triangle H_AH_BH_C[/tex3] é denominado triângulo órtico de [tex3]\triangle ABC[/tex3] .
Vou fazer minhas demonstrações para o triângulo [tex3]\triangle ABC[/tex3] acutângulo, mas é fácil ver que no triângulo [tex3]\triangle ABC[/tex3] retângulo o triângulo órtico se degenera e para o triângulo [tex3]\triangle ABC[/tex3] obtusângulo as demonstrações são muito semelhantes (basta enxergar o vértice do ângulo obtuso como sendo ortocentro do triângulo [tex3]\triangle ABC[/tex3] e o ortocentro como sendo vértice).

1-) Os ângulos do triângulo órtico:
No triângulo órtico [tex3]\angle H_BH_AH_C = 180^{\degree} - 2 \cdot \angle BAC[/tex3] .
Prova:
Seja [tex3]H[/tex3] o ortocentro de [tex3]\triangle ABC[/tex3] então o quadrilátero [tex3]CH_BHH_A[/tex3] é cíclico pois [tex3]\angle CH_BH + \angle CH_AH = 90^{\degree} + 90^{\degree} = 180^{\degree}[/tex3]
Então [tex3]\angle HH_AH_B = \angle HCH_B = \angle H_C CA = 90^{\degree} - \angle BAC[/tex3]
Analogamente o quadrilátero [tex3]BH_AHH_C[/tex3] é cíclico de onde [tex3]\angle HH_AH_C = \angle HBH_C = 90^{\degree} - \angle BAC[/tex3] .
Logo:
[tex3]\angle H_BH_AH_C = \angle H_BH_A H + \angle H H_AH_C = (90^{\degree} - \angle BAC) + (90^{\degree} -\angle BAC) = 180^{\degree} -2 \cdot \angle BAC[/tex3] .
Além disso a reta [tex3]AH[/tex3] é bissetriz do ângulo [tex3]\angle H_BH_AH_C[/tex3] .
Analogamente a reta [tex3]BH[/tex3] é bissetriz do ângulo [tex3]\angle H_AH_BH_C[/tex3] o que significa que:

[tex3]H[/tex3] é incentro de [tex3]\triangle H_AH_BH_C[/tex3]. O ortocentro de um triângulo acutângulo é o incentro de seu triângulo órtico.

2-) Os lados do triângulo órtico:
Definamos os lados do [tex3]\triangle ABC[/tex3] .
[tex3]a = BC[/tex3]
[tex3]b = AC[/tex3]
[tex3]c = AB[/tex3]
Então [tex3]H_AH_B = c \cos (\angle ACB)[/tex3] , [tex3]H_BH_C = a \cos (\angle CAB)[/tex3] e [tex3]H_AH_C = b \cos (\angle ABC)[/tex3] .
Prova:
Como foi demonstrado que [tex3]\angle AH_AH_B = 90^{\degree} - \angle BAC[/tex3] então [tex3]\angle H_BH_AC = \angle BAC[/tex3] .
Então [tex3]\triangle H_BH_AC[/tex3] tem um ângulo [tex3]\angle BAC[/tex3] , outro ângulo [tex3]\angle ACB[/tex3] e portanto o terceiro ângulo vale [tex3]\angle ABC[/tex3] . Sendo assim [tex3]\triangle H_BH_AC \sim \triangle BAC[/tex3] .
A razão de semelhança pode ser encontrada olhando para os lados opostos aos ângulos [tex3]\angle ABC[/tex3] nos dois triângulos:
[tex3]\frac{CH_A}{AC} = \cos( \angle ACB) = \frac{H_AH_B}{AB} \implies H_AH_B = c \cos (\angle ACB)[/tex3] .
Os outros resultados são análogos.

3-) O circuncírculo do triângulo órtico:

O circuncírculo do triângulo órtico é o círculo dos nove pontos do triângulo [tex3]\triangle ABC[/tex3] .
Sabemos (pelo link) que este círculo também é cincuncírculo do triângulo medial do triângulo [tex3]\triangle ABC[/tex3] (triângulo medial é o triângulo formado pelos pontos médios dos lados de um triângulo) e, por semelhança, seu raio deve valer metade do raio do circuncírculo do [tex3]\triangle ABC[/tex3] .
Logo [tex3]R_{\triangle H_AH_BH_C} = \frac12 R_{\triangle ABC}[/tex3] .




Movido de Ensino Médio para Demonstrações em Ter 14 Abr, 2020 00:25 por MateusQqMD

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