Antes de demonstrarmos temos que ter em mente dois lemas.
Lema 1:
Sejam [tex3]a[/tex3]
e [tex3]b[/tex3]
dois naturais não nulos e [tex3]d= mdc(a,b)[/tex3]
.
Podemos escrever [tex3]a[/tex3]
e [tex3]b[/tex3]
da seguinte maneira:
[tex3]a=dk_1 [/tex3]
[tex3]b= dk_2[/tex3]
Iremos provar por absurdo que o [tex3]mdc(k_1,k_2)=1[/tex3]
.
Hipótese: [tex3]mdc(k_1,k_2)= \lambda>1[/tex3]
Podemos escrever [tex3]k_1[/tex3]
e [tex3]k_2[/tex3]
da seguinte maneira:
[tex3]\begin{cases}
k_1= \lambda \cdot m_1 \implies a= d\lambda m_1\\
k_2= \lambda \cdot m_2 \implies b= d\lambda m_2
\end{cases}[/tex3]
Concluímos então que [tex3]d\lambda[/tex3] é divisor comum de [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3]
Se [tex3]\lambda>1\implies d\lambda>d[/tex3]
Ou seja um divisor comum de [tex3]a [/tex3]
e [tex3]b[/tex3]
é maior que o [tex3]mdc(a,b)[/tex3]
, o que é um ABSURDO!
Portanto [tex3]\lambda=1\implies mdc(k_1, k_2) = 1[/tex3]
Lema 2:
Sejam [tex3]a[/tex3]
e [tex3]b[/tex3]
naturais não nulos e [tex3]m=mmc(a,b)[/tex3]
Podemos escrever [tex3]m [/tex3]
da seguinte maneira:
[tex3]m=a\cdot \lambda_1 [/tex3]
[tex3]m= b \cdot \lambda_2[/tex3]
Iremos provar por absurdo que [tex3]mdc( \lambda_1, \lambda_2)=1[/tex3]
Hipótese: [tex3]mdc(\lambda_1, \lambda_2)= \phi>1[/tex3]
Podemos escrever [tex3]\lambda_1[/tex3]
e [tex3]\lambda_2[/tex3]
da seguinte maneira:
[tex3]\begin{cases}
\lambda_1= \phi\cdot h_1 \implies m= a\phi h_1 \\
\lambda_2 =\phi \cdot h_2 \implies m = b\phi h_2
\end{cases}[/tex3]
Concluímos então que [tex3]ah_1 = bh_2[/tex3]
, que chamaremos de [tex3]m'[/tex3]
Então [tex3]m'[/tex3]
é múltiplo comum de [tex3]a[/tex3]
e [tex3]b[/tex3]
.
Como [tex3]m'< m[/tex3]
chegamos a um ABSURDO já que [tex3]m'[/tex3]
é menor que o [tex3]mmc(a,b)[/tex3]
.
Então [tex3]\phi=1\implies mdc(\lambda_1,\lambda_2)=1[/tex3]
DEMONSTRAÇÃO:
Sejam [tex3]a [/tex3]
e [tex3]b[/tex3]
naturais não nulos, então [tex3]ab= mmc(a,b) \cdot mdc(a,b)[/tex3]
[tex3]d=mdc(a,b)[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
a=d\cdot h_1 \\
b=d \cdot h_2
\end{cases}[/tex3]
Logo [tex3]mdc(h_1,h_2) =1[/tex3]
[tex3]m= mmc(a,b)[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
m= a \cdot \lambda_1 \\
m=b \cdot \lambda_2
\end{cases}[/tex3]
Logo [tex3]mdc( \lambda_1, \lambda_2)=1[/tex3]
Temos, a partir disso:
[tex3]\begin{cases}
m= a \cdot \lambda_1\implies m=dh_1\lambda_1 \\
m=b \cdot \lambda_2 \implies m = dh_2\lambda_2
\end{cases}[/tex3]
Concluímos então que [tex3]h_1\lambda_1= h_2\lambda_2[/tex3]
Como [tex3]h_1 [/tex3]
e [tex3]h_2[/tex3]
são primos entre si, segue que:
[tex3]h_1 | \lambda_2[/tex3]
[tex3]h_2 | \lambda_1[/tex3]
Analogamente:
[tex3]\lambda_1| h_2[/tex3]
[tex3]\lambda_2| h_1[/tex3]
Daí, chegamos a conclusão de que [tex3]h_1= \lambda_2[/tex3]
e [tex3]h_2 = \lambda_1[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
a=d\cdot h_1 \implies a= d \cdot \lambda_2 \\
b=d\cdot h_2 \implies b= d\cdot \lambda_1
\end{cases}[/tex3]
[tex3]ab= d^2 \cdot \lambda_1 \cdot \lambda_2[/tex3]
[tex3]ab=d^2\cdot \frac{m}{a}\cdot \frac{m}{b}[/tex3]
[tex3]ab=\frac{d^2\cdot m^2}{ab}[/tex3]
[tex3]a^2b^2= d^2m^2[/tex3]
[tex3]ab=dm[/tex3]
(C.Q.D)
Já que:
[tex3]d= mdc(a,b)[/tex3]
[tex3]m= mmc(a,b)[/tex3]
Demonstrações ⇒ Demonstração mmc(a,b). mdc(a,b) = ab
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