Há um tempo atrás, nosso colega MateusQqMD demonstrou que o número de soluções inteiras e não negativas de uma equação linear é dado por [tex3]P_{ \, m + k -1}^{ \, m, \,\, k-1}[/tex3]
.
Aqui, irei demonstrar que o número de soluções inteiras e positivas de uma equação linear é dado por [tex3]C^{k-1}_{m-1}[/tex3]
.
----------------------------------------------------------------------------------------------
Qual o número de soluções inteiras e positivas da equação linear [tex3]x_1+x_2+x_3+...+x_m=k[/tex3]
?
Imaginemos que tenhamos [tex3]k[/tex3]
quadrados enfileirados e queiramos separá-los em [tex3]m[/tex3]
grupos, com pelo menos um quadrado em cada um dos grupos.
[tex3]\underbrace{\underbrace{\square...\square}_{x_1\text{ quadrados}}|\underbrace{\square...\square}_{x_2\text{ quadrados}}|...|\underbrace{\square...\square}_{x_m\text{ quadrados}}}_{k\text{ quadrados},\ m\text{ grupos}}[/tex3]
Percebamos que tudo se resume à posição das barras entre os quadrados e que:
1) se temos [tex3]k[/tex3]
quadrados, há [tex3]k-1[/tex3]
espaços entre quadrados.
2) se queremos [tex3]m[/tex3]
grupos, teremos que inserir [tex3]m-1[/tex3]
barras entre quadrados, de forma que duas barras quaisquer estejam separadas por pelo menos um quadrado.
Podemos dispor as [tex3]m-1[/tex3]
barras nos [tex3]k-1[/tex3]
espaços de [tex3]C^{k-1}_{m-1}[/tex3]
maneiras.
----------------------------------------------------------------------------------------------
Exemplificando, qual o número de soluções inteiras e positivas da equação linear [tex3]x_1+x_2+x_3=5[/tex3]
?
Se temos 5 quadrados, há [tex3]5-1=4[/tex3]
espaços entre quadrados.
[tex3]\square\ \underbrace{\_}_{\text{espaço 1}}\ \square\ \underbrace{\_}_{\text{espaço 2}}\ \square\ \underbrace{\_}_{\text{espaço 3}}\ \square\ \underbrace{\_}_{\text{espaço 4}}\ \square[/tex3]
Se queremos dividi-los em 3 grupos (um com [tex3]x_1[/tex3]
, outro com [tex3]x_2[/tex3]
e outro com [tex3]x_3[/tex3]
quadrados), então precisaremos inserir [tex3]3-1=2[/tex3]
barras entre os quadrados.
Podemos dispor as 2 barras entre os 4 quadrados de [tex3]C^2_4=6[/tex3]
maneiras.
Citando uma das maneiras, se colocarmos as barras nos espaços 1 e 3, o resultado será
[tex3]\square\ |\ \square\ \square\ |\ \square\ \square[/tex3]
o que se reflete em [tex3]x_1=1,x_2=2,x_3=2[/tex3]
.
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Demonstrações ⇒ Número de soluções inteiras positivas de uma equação linear
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Set 2019
02
09:41
Número de soluções inteiras positivas de uma equação linear
Editado pela última vez por csmarcelo em 21 Dez 2021, 09:54, em um total de 1 vez.
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- Última visita: 31-12-69
Nov 2021
23
09:34
Re: Número de soluções inteiras positivas de uma equação linear
Outro raciocínio:
x1 + ... + xp = n
posso escrever n como uma soma de vários 1
1 + 1 + 1 ... + 1
são n-1 sinais de +
mas x1 + ... + xp tem p-1 sinais de +
então tenho que escolher p-1 sinais de + dentre os n-1 sinais de +
e feito
x1 + ... + xp = n
posso escrever n como uma soma de vários 1
1 + 1 + 1 ... + 1
são n-1 sinais de +
mas x1 + ... + xp tem p-1 sinais de +
então tenho que escolher p-1 sinais de + dentre os n-1 sinais de +
e feito
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