Sejam as circunferências [tex3]c[/tex3]
Prova:
Lema 1: [tex3]A,B,C[/tex3] são alinhados.
Prova do lema: Se [tex3]A[/tex3]
está em [tex3]c[/tex3]
([tex3]A \in c[/tex3]
) então [tex3]AB = r_c[/tex3]
e [tex3]A \in d[/tex3]
então [tex3]AC = r_d[/tex3]
.
Supondo que [tex3]A[/tex3]
não está em [tex3]BC[/tex3]
então tomemos o reflexo [tex3]A'[/tex3]
do ponto [tex3]A[/tex3]
em relação ao segmento [tex3]BC[/tex3]
. Como [tex3]BC[/tex3]
é mediatriz de [tex3]AA'[/tex3]
então [tex3]BA=BA' = r_c \implies A' \in c[/tex3]
da mesma forma [tex3]AC=A'C = r_d \implies A' \in d[/tex3]
logo [tex3]c[/tex3]
e [tex3]d[/tex3]
possuem dois pontos em comum [tex3]A'[/tex3]
e [tex3]A[/tex3]
portanto não são tangentes, mas sim, secantes. Absurdo, logo para serem tangentes devemos ter [tex3]A=A'[/tex3]
o que só ocorre apenas se [tex3]A,B,C[/tex3]
são alinhados.
Lema 2: Tomemos um ponto [tex3]D[/tex3] qualquer da circunferência [tex3]c[/tex3], e seja [tex3]E[/tex3] o encontro da reta [tex3]AD[/tex3] com [tex3]d[/tex3]. Então a razão [tex3]\frac{AD}{AE} = \frac{r_c}{r_d}[/tex3] é constante para todo ponto [tex3]D \in c[/tex3].
Prova do lema: Como [tex3]A,B,C[/tex3]
são alinhados então [tex3]\angle DAB = \angle CAE[/tex3]
pois são opostos pelo vértice, mas como [tex3]BD=BA[/tex3]
e [tex3]CA = CE[/tex3]
os triângulos [tex3]\Delta ABD[/tex3]
e [tex3]\Delta ACE[/tex3]
são isósceles então [tex3]\angle BDA = \angle DAB = \angle CAE = \angle AEC[/tex3]
. Como os dois triângulos citados possuem todos os ângulos iguais, são semelhantes e portanto [tex3]\frac{AD}{AE} = \frac{AB}{AC} = \frac{r_c}{r_d}[/tex3]
.
Lema 3: a reta tangente a [tex3]c[/tex3] pelo ponto [tex3]D[/tex3] é paralela à reta tangente a [tex3]d[/tex3] pelo ponto [tex3]E[/tex3].
Prova do lema: seja [tex3]\alpha= \angle DAB = \angle CAE[/tex3]
então o ângulo agudo entre a reta [tex3]AD[/tex3]
e a tangente por [tex3]D[/tex3]
vale [tex3]90-\alpha[/tex3]
(pois a tangente é perpendicular a [tex3]BD[/tex3]
). Que é, analogamente, o ângulo entre a reta [tex3]AE[/tex3]
com a tangente em [tex3]E[/tex3]
, como [tex3]A,E,D[/tex3]
são alinhados as tangentes devem ser paralelas.
Lema 4: uma corda [tex3]XY[/tex3] qualquer de [tex3]c[/tex3] é levada a uma corda [tex3]X'Y'[/tex3] paralela a ela em [tex3]d[/tex3] se [tex3]X' = d \cap XA[/tex3] e [tex3]Y' = d \cap YA[/tex3].
Prova do lema: [tex3]\Delta XYA \sim \Delta X'Y'A[/tex3]
por [tex3]LAL[/tex3]
já que [tex3]\angle XAY = \angle X'AY'[/tex3]
por serem opostos pelo vértice e [tex3]\frac{AX}{AX'} = \frac{AY}{AY'} = \frac{r_c}{r_d}[/tex3]
do lema 2. Logo [tex3]XY \parallel X'Y'[/tex3]
.
Os lemas acima representam as propriedades fundamentais da transformação do plano chamada de homotetia, no caso, centrada em [tex3]A[/tex3]
. Essa ferramenta é muito útil para resolver problemas envolvendo círculos e retas tangentes. As provas acima assumiram o caso da tangência externa neste caso os pontos [tex3]D[/tex3]
e [tex3]E[/tex3]
são ditos homólogos. A tangência interna é análoga ao caso acima.
, centrada no ponto [tex3]B[/tex3]
e de raio [tex3]r_c>0[/tex3]
, e [tex3]d[/tex3]
, centrada no ponto [tex3]C[/tex3]
e de raio [tex3]r_d>0[/tex3]
, tangentes entre si em um ponto [tex3]A[/tex3]
(a definição usada é que as curvas são tangentes se, e somente se, encontram-se em um único ponto). Então existe uma homotetia centrada em [tex3]A[/tex3]
que associa todos os pontos de [tex3]c[/tex3]
com todos os pontos de [tex3]d[/tex3]
.Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Demonstrações ⇒ Círculos tangentes entre si são homotéticos pelo ponto de contato
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Círculos tangentes entre si são homotéticos pelo ponto de contato
Editado pela última vez por Auto Excluído (ID:12031) em 27 Jun 2019, 09:32, em um total de 6 vezes.
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Re: Círculos tangentes entre si são homotéticos pelo ponto de contato
P@#&#@ muito mais fácil entender assim!!! BRILHANTE a
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
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15:03
Re: Círculos tangentes entre si são homotéticos pelo ponto de contato
fizeram um artigo maravilhoso sobre esse tema aqui na wiki das olimpíadas, recomendo a todos que quiserem entender um pouco mais da homotetia, ficou bem completinho.
https://olimpedia.fandom.com/pt-br/wiki/Homotetia
https://olimpedia.fandom.com/pt-br/wiki/Homotetia
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
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