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Lema 1: [tex3]A,B,C[/tex3] são alinhados.
Prova do lema: Se [tex3]A[/tex3] está em [tex3]c[/tex3] ([tex3]A \in c[/tex3] ) então [tex3]AB = r_c[/tex3] e [tex3]A \in d[/tex3] então [tex3]AC = r_d[/tex3] .
Supondo que [tex3]A[/tex3] não está em [tex3]BC[/tex3] então tomemos o reflexo [tex3]A'[/tex3] do ponto [tex3]A[/tex3] em relação ao segmento [tex3]BC[/tex3] . Como [tex3]BC[/tex3] é mediatriz de [tex3]AA'[/tex3] então [tex3]BA=BA' = r_c \implies A' \in c[/tex3] da mesma forma [tex3]AC=A'C = r_d \implies A' \in d[/tex3] logo [tex3]c[/tex3] e [tex3]d[/tex3] possuem dois pontos em comum [tex3]A'[/tex3] e [tex3]A[/tex3] portanto não são tangentes, mas sim, secantes. Absurdo, logo para serem tangentes devemos ter [tex3]A=A'[/tex3] o que só ocorre apenas se [tex3]A,B,C[/tex3] são alinhados.
Lema 2: Tomemos um ponto [tex3]D[/tex3] qualquer da circunferência [tex3]c[/tex3], e seja [tex3]E[/tex3] o encontro da reta [tex3]AD[/tex3] com [tex3]d[/tex3]. Então a razão [tex3]\frac{AD}{AE} = \frac{r_c}{r_d}[/tex3] é constante para todo ponto [tex3]D \in c[/tex3].
Prova do lema: Como [tex3]A,B,C[/tex3] são alinhados então [tex3]\angle DAB = \angle CAE[/tex3] pois são opostos pelo vértice, mas como [tex3]BD=BA[/tex3] e [tex3]CA = CE[/tex3] os triângulos [tex3]\Delta ABD[/tex3] e [tex3]\Delta ACE[/tex3] são isósceles então [tex3]\angle BDA = \angle DAB = \angle CAE = \angle AEC[/tex3] . Como os dois triângulos citados possuem todos os ângulos iguais, são semelhantes e portanto [tex3]\frac{AD}{AE} = \frac{AB}{AC} = \frac{r_c}{r_d}[/tex3] .
Lema 3: a reta tangente a [tex3]c[/tex3] pelo ponto [tex3]D[/tex3] é paralela à reta tangente a [tex3]d[/tex3] pelo ponto [tex3]E[/tex3].
Prova do lema: seja [tex3]\alpha= \angle DAB = \angle CAE[/tex3] então o ângulo agudo entre a reta [tex3]AD[/tex3] e a tangente por [tex3]D[/tex3] vale [tex3]90-\alpha[/tex3] (pois a tangente é perpendicular a [tex3]BD[/tex3] ). Que é, analogamente, o ângulo entre a reta [tex3]AE[/tex3] com a tangente em [tex3]E[/tex3] , como [tex3]A,E,D[/tex3] são alinhados as tangentes devem ser paralelas.
Lema 4: uma corda [tex3]XY[/tex3] qualquer de [tex3]c[/tex3] é levada a uma corda [tex3]X'Y'[/tex3] paralela a ela em [tex3]d[/tex3] se [tex3]X' = d \cap XA[/tex3] e [tex3]Y' = d \cap YA[/tex3].
Prova do lema: [tex3]\Delta XYA \sim \Delta X'Y'A[/tex3] por [tex3]LAL[/tex3] já que [tex3]\angle XAY = \angle X'AY'[/tex3] por serem opostos pelo vértice e [tex3]\frac{AX}{AX'} = \frac{AY}{AY'} = \frac{r_c}{r_d}[/tex3] do lema 2. Logo [tex3]XY \parallel X'Y'[/tex3] .
Os lemas acima representam as propriedades fundamentais da transformação do plano chamada de homotetia, no caso, centrada em [tex3]A[/tex3] . Essa ferramenta é muito útil para resolver problemas envolvendo círculos e retas tangentes. As provas acima assumiram o caso da tangência externa neste caso os pontos [tex3]D[/tex3] e [tex3]E[/tex3] são ditos homólogos. A tangência interna é análoga ao caso acima.
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