Demonstração que uma série infinita de números complexos pode convergir
Enviado: Seg 17 Jun, 2019 00:38
Estava com uma dúvida, que infelizmente não há conversa sobre isso no ensino médio, irei expor um pouco do que aprendi para afirmar que é possível uma série infinita complexa convergir para um resultado, e que poderíamos simplesmente pensar em uma "P.G infinita".
Teorema do Critério para Convergência
"Uma sequência {[tex3]z_n[/tex3]} converge para um número complexo [tex3]L = a + ib[/tex3] se, e somente se,
[tex3]Re(z_n ) [/tex3] converge para [tex3]Re(L) = a[/tex3] e [tex3]Im(z_n )[/tex3] converge para [tex3]Im(L) = b[/tex3]."
"Uma série infinita ou serie de número complexo
[tex3]\sum_{n=1}^{\infty} q_k=q_1+q_2+q_3+...+q_n+...[/tex3]
é convergente se a sequencia de somas parciais {[tex3]S_n[/tex3]}, onde [tex3]S_n=q_1+q_2+q_3+...+q_n[/tex3] converge. Se [tex3]S_n \rightarrow L [/tex3] como [tex3]n \rightarrow\infty[/tex3] dizemos que a série converge para L ou que o somatório da série é L."
[tex3]\rule{20cm}{0.5pt}[/tex3]
Iremos usar as mesmas ideias acima
Temos:
[tex3]\sum_{n=0}^{\infty} q^n[/tex3]
Seja a soma da sequência parcial:
[tex3]1+q+q^2+q^3+...+q^n=S_n[/tex3]
Então:
[tex3]qS_n=q+q^²+q^3+...q^{n+1}[/tex3]
[tex3]qS_n=\frac{q(1-q^{n+1})}{1-q}[/tex3]
[tex3]S_n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}[/tex3]
Vamos definir [tex3]q=|z|\cis \theta[/tex3] e fazer n tender ao infinito
[tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1-q^{n+1}}{1-q} [/tex3]
Ora, temos [tex3]q^{n+1}[/tex3] e se [tex3]n \rightarrow \infty[/tex3] , então temos [tex3]q^{\infty}[/tex3] , logo
[tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1-q^{n+1}}{1-q} [/tex3] irá convergir se, e somente se, [tex3]|z^{n+1}|<1[/tex3] , pois se por exemplo [tex3]|z|=1[/tex3]
Teríamos
[tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1-(\cis\theta)^{n+1}}{1-\cis \theta} [/tex3]
[tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1-(\cis\theta)^{\infty}}{1-\cis \theta} [/tex3]
[tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1-(\cis\infty)}{1-\cis \theta} [/tex3]
[tex3]\cis \infty[/tex3] é indeterminado e isso contraria o Teorema e a mesma coisa vai ocorrer pra valores maiores que 1 também.
Já que obrigatoriamente [tex3]|z^{n+1}|<1[/tex3] , então teremos que
[tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1-q^{n+1}}{1-q} =\frac{1}{1-q}[/tex3]
Então:
[tex3]\frac{1}{1-q}=1+q+q^2+q^3+...[/tex3]
Espero que possa ajudar à quem teve a mesma dúvida.
Teorema do Critério para Convergência
"Uma sequência {[tex3]z_n[/tex3]} converge para um número complexo [tex3]L = a + ib[/tex3] se, e somente se,
[tex3]Re(z_n ) [/tex3] converge para [tex3]Re(L) = a[/tex3] e [tex3]Im(z_n )[/tex3] converge para [tex3]Im(L) = b[/tex3]."
"Uma série infinita ou serie de número complexo
[tex3]\sum_{n=1}^{\infty} q_k=q_1+q_2+q_3+...+q_n+...[/tex3]
é convergente se a sequencia de somas parciais {[tex3]S_n[/tex3]}, onde [tex3]S_n=q_1+q_2+q_3+...+q_n[/tex3] converge. Se [tex3]S_n \rightarrow L [/tex3] como [tex3]n \rightarrow\infty[/tex3] dizemos que a série converge para L ou que o somatório da série é L."
[tex3]\rule{20cm}{0.5pt}[/tex3]
Iremos usar as mesmas ideias acima
Temos:
[tex3]\sum_{n=0}^{\infty} q^n[/tex3]
Seja a soma da sequência parcial:
[tex3]1+q+q^2+q^3+...+q^n=S_n[/tex3]
Então:
[tex3]qS_n=q+q^²+q^3+...q^{n+1}[/tex3]
[tex3]qS_n=\frac{q(1-q^{n+1})}{1-q}[/tex3]
[tex3]S_n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}[/tex3]
Vamos definir [tex3]q=|z|\cis \theta[/tex3] e fazer n tender ao infinito
[tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1-q^{n+1}}{1-q} [/tex3]
Ora, temos [tex3]q^{n+1}[/tex3] e se [tex3]n \rightarrow \infty[/tex3] , então temos [tex3]q^{\infty}[/tex3] , logo
[tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1-q^{n+1}}{1-q} [/tex3] irá convergir se, e somente se, [tex3]|z^{n+1}|<1[/tex3] , pois se por exemplo [tex3]|z|=1[/tex3]
Teríamos
[tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1-(\cis\theta)^{n+1}}{1-\cis \theta} [/tex3]
[tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1-(\cis\theta)^{\infty}}{1-\cis \theta} [/tex3]
[tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1-(\cis\infty)}{1-\cis \theta} [/tex3]
[tex3]\cis \infty[/tex3] é indeterminado e isso contraria o Teorema e a mesma coisa vai ocorrer pra valores maiores que 1 também.
Já que obrigatoriamente [tex3]|z^{n+1}|<1[/tex3] , então teremos que
[tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1-q^{n+1}}{1-q} =\frac{1}{1-q}[/tex3]
Então:
[tex3]\frac{1}{1-q}=1+q+q^2+q^3+...[/tex3]
Espero que possa ajudar à quem teve a mesma dúvida.