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Vamos subtrair o cubo menor do cubo maior [tex3](x^{3} - y^{3})[/tex3] e obter o seguinte:
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A ideia é calcular o volume dessa figura. Para facilitar, podemos separar a figura nos seguintes objetos:
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Vamos obter o volume da figura [tex3](\text{V}_\text{T} = \text{cubo maior - cubo menor)}[/tex3] somando as partes que a compõem. O volume do primeiro prisma (maior e na esquerda) pode ser facilmente encontrado:
[tex3]\text{V}_1 = (x-y) \cdot x^2[/tex3]
O volume do segundo prisma (na direita) é dado por:
[tex3]\text{V}_2 = (x-y) \cdot x \cdot y[/tex3]
Por último, resta o volume do prisma menor, dado por:
[tex3]\text{V}_3 = (x-y) \cdot y^2[/tex3]
Disso, obtemos que o volume da figura, dada pela subtração do cubo maior pelo cubo menor, será calculado por:
[tex3]\text{V}_\text {T} = \text{V}_1 + \text{V}_2 + \text{V}_3 \, \, \implies \, \, \text{V}_\text {T} = (x-y) \cdot x^2 + (x-y) \cdot x \cdot y + (x-y) \cdot y^2 [/tex3]
Nessa expressão, podemos colocar [tex3](x-y)[/tex3] em evidência e substituir [tex3]\text{V}_{\text{T}} = x^3 - y^3[/tex3] . Assim, obtemos que:
[tex3]\text{V}_\text {T} = (x-y) \cdot x^2 + (x-y) \cdot x \cdot y + (x-y) \cdot y^2 \, \, \iff \, \, {\color{BurntOrange}\boxed{x^3 - y^3 = (x-y) \cdot (x^2 +x \cdot y + y^2) }} ~~\text{ C.Q.D.}[/tex3]
Extra
Para soma de cubos, assuma que, algebricamente, [tex3]y = -z[/tex3] :
[tex3]x^3 - (-z)^3 = [x-(-z)] \cdot [x^2 +x \cdot (-z) + (-z)^2] \, \, \iff \, \, x^3 + z^3 = (x+z)(x^2 - x\cdot z + z^2)[/tex3]
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