Demonstrações ⇒ Demonstração da fórmula de Euler

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snooplammer
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Jun 2019 15 22:11

Demonstração da fórmula de Euler

Mensagem não lidapor snooplammer » Sáb 15 Jun, 2019 22:11

Mensagem não lida por snooplammer » Sáb 15 Jun, 2019 22:11

É uma fórmula muito interessante e também já conhecida por muitos. A demonstração que normalmente fazem é por Séries de Taylor, mas irei apresentar uma demonstração por Cálculo Diferencial e Integral

Seja [tex3]f(x)=\cos(x)+i\sen(x)[/tex3]

Vamos derivar [tex3]f(x)[/tex3]

[tex3]f'(x)=-\sen x +i \cos x[/tex3]

[tex3]f'(x)=i^2\sen x+ i\cos x[/tex3]

[tex3]f'(x)= i(\cos x + i\sen x) [/tex3]

[tex3]f'(x)=if(x)[/tex3]

Chamando [tex3]f'(x)=\frac{dy}{dx}[/tex3]

[tex3]\frac{dy}{dx}=if(x)[/tex3]

[tex3]\frac{dy}{f(x)}=idx[/tex3]

[tex3]\int\frac{dy}{f(x)}=\int i dx[/tex3]

[tex3]\ln(f(x))=ix[/tex3]

[tex3]e^{ix}=f(x)[/tex3]

Só que [tex3]f(x)=\cos x + i\sen x[/tex3]

Logo,

[tex3]\boxed{e^{ix}=\cos x + i\sen x}[/tex3] [tex3]\spadesuit[/tex3]
Última edição: snooplammer (Sáb 15 Jun, 2019 22:15). Total de 1 vez.


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