A um tempo atrás eu prometi a demonstração desse teorema mas no processo acabei descobrindo coisas bem interessantes que compartilharei com os senhores! Peço que compartilhem o máximo pois quase não há informações sobre o que será passado aqui. Vamos começar essa pimbada de geometria!
Pela imagem temos como constantes AB=a, BC=b, AC=c, BD=k e AbC=teta/2
Demonstração 1
Seja [tex3]p[/tex3]
, [tex3]p_1[/tex3]
e [tex3]p_2[/tex3]
os semi-perímetros dos triângulos [tex3]ABC[/tex3]
, [tex3]ABD[/tex3]
e [tex3]BCD[/tex3]
, respectivamente, então valerá a seguinte relação: [tex3]p_1+p_2 = p+ x[/tex3]
[tex3]p_1=\frac{x+b+DC}{2}[/tex3]
[tex3]p_2=\frac{x+a+AD}{2}[/tex3]
Sabendo-se que [tex3]AD+DC=c [/tex3]
e somando as duas, demonstramos a primeira relação
[tex3]p_1+p_2=p+x [/tex3]
Que será o nosso Eureka para vislumbrar as próximo duas
Demonstração 2
[tex3]k=\sqrt{p(p-c)} [/tex3]
Primeiramente trace as perpendicular cujos pés são M,N,P e L como no desenho
Repare que [tex3]AN=p_1-x[/tex3]
e que [tex3]AM=p-x [/tex3]
Por semelhança temos:
[tex3]\frac{r}{R} =\frac{p_1-x}{p-b}[/tex3]
tal que
[tex3]r(p-b)=R(p_1-x)[/tex3]
Repare agora que [tex3]PC=p-a [/tex3]
e [tex3]LC=p_2-x [/tex3]
De novo por semelhança:
[tex3]\frac{r}{R} =\frac{p_2-x}{p-a} [/tex3]
Tal que [tex3]r(p-a)=R(p_2-x) [/tex3]
Somando as duas equações chegamos em uma coisa muito legal
[tex3]r(2p-a-b)= R(p_1+p_2-2x) [/tex3]
Simplificando chegamos em
[tex3]r\cdot c=R(p-x) [/tex3]
vamos guardar isso !!
Vale lembrar que [tex3]p\cdot R=r(p_1+p_2) [/tex3]
relação das áreas
Mas [tex3](p_1+p_2)=p+x[/tex3]
substituindo na equação anterior chegamos em [tex3]r=\frac{Rp}{p+x} [/tex3]
substituindo na anterior provamos nossa tese 2
Demonstração 3 [tex3]S=k^2 \tg\(\frac{AbC}{2}\)[/tex3]
Como [tex3]k^2=p(p-c) [/tex3]
Temos pelo teorema das tangentes que [tex3](p-c)=R\cdot\cotg\(\frac{AbC}{2}\)[/tex3]
então [tex3]k^2=p\cdot R\cdot \cotg [/tex3]
mas pR=S e daí provamos nossa terceira tese!
PS: vão se danar sangakus!!!
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Demonstrações ⇒ Circunferências Côngruas Inscritas em um Triângulo Tangentes a uma Ceviana
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Mar 2019
01
19:00
Circunferências Côngruas Inscritas em um Triângulo Tangentes a uma Ceviana
Editado pela última vez por caju em 01 Mar 2019, 20:12, em um total de 6 vezes.
Razão: arrumar tex.
Razão: arrumar tex.
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
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Mar 2019
01
19:13
Re: Circunferências Côngruas Inscritas em um Triângulo Tangentes a uma Ceviana
Agora está arrumado e legível
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
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