Começamos definindo segmentos orientados, atribuímos um sinal ao segmento [tex3]\overline{PA}[/tex3] a convenção é que:
[tex3]\overline{PA} = \overline{OA} - \overline{OP}[/tex3] para um ponto [tex3]O[/tex3] na reta [tex3]PA[/tex3] .
Essa notação é intuitiva, o segmento assemelha-se com um vetor partindo de [tex3]P[/tex3] indo para [tex3]A[/tex3] .
É fácil ver que:
[tex3]\overline{PA} = -\overline{AP}[/tex3]
agora definimos a razão entre segmentos:
Dados dois pontos fixos [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3] , tome um ponto [tex3]P[/tex3] na reta [tex3]AB[/tex3] .
Dizemos que [tex3]P[/tex3] divide [tex3]AB[/tex3] na razão [tex3]r[/tex3] se:
[tex3]r = \frac{\overline{PA}}{\overline{PB}}[/tex3] .
Note que quanto mais distante [tex3]P[/tex3] for de [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3] mais próxima de [tex3]1[/tex3] é [tex3]r[/tex3] .
[tex3]r<0 \iff P[/tex3] está no interior do segmento [tex3]AB[/tex3] .
[tex3]r>0[/tex3] se, e somente se, [tex3]P[/tex3] está fora do segmento.
[tex3]r= 0 \iff P=A[/tex3] e [tex3]r[/tex3] não está definida quando [tex3]P=B[/tex3] e apenas neste caso.
1 - Dados [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3] fixos. Se [tex3]k \neq 1[/tex3] então existe um único ponto [tex3]P[/tex3] na reta [tex3]AB[/tex3] tal que a razão [tex3]\frac{\overline{PA}}{\overline{PB}} = k[/tex3].
Prova: sejam [tex3]\overline{AB} = a[/tex3] e [tex3]\overline{PA} = x[/tex3] então [tex3]\overline{PB} = \overline{PA} + \overline{AB} = x+a[/tex3] então
[tex3]k = \frac x{x+a} \iff x\(k-1\) = ak \rightarrow x = \frac{ak}{k-1}[/tex3] e esta função é injetora em [tex3]k[/tex3] .
Razão anarmônica:
Dados quatro pontos [tex3]A,B,C,D[/tex3] colineares, definimos a razão anarmônica entre eles como:
[tex3]\(A,B;C,D\) = \frac{\overline{AC} \cdot \overline{BD}}{\overline{BC} \cdot \overline {AD}} = \frac{\frac{\overline{CA}}{\overline{CB}}}{ \frac{\overline{DA}}{\overline{DB}}} [/tex3]
Ou seja, é a divisão entre a razão com a qual [tex3]C[/tex3] divide [tex3]AB[/tex3] sobre a razão com a qual [tex3]D[/tex3] divide o mesmo segmento. Há 24 possíveis combinações dos pontos [tex3]A,B,C,D[/tex3] na equação da razão anarmônica.
2- A razão anarmônica de quatro pontos distintos nunca vale +1.
Prova: se [tex3]\(A,B;C,D\) = 1[/tex3] então [tex3]C[/tex3] e [tex3]D[/tex3] dividem o segmento [tex3]AB[/tex3] na mesma razão, pelo Teorema 1 temos que [tex3]B=C[/tex3] .
3 - [tex3]\(A,B;C,D\) < 0 [/tex3]se, e somente se, um dos pontos [tex3]C[/tex3] ou [tex3]D[/tex3] está no interior de [tex3]AB[/tex3] e o outro está fora.
4 - [tex3]\(A,B;C,D\) \neq \(A,B;C,E\) \iff D \neq E[/tex3].
As possíveis razões anarmônicas para [tex3]4[/tex3] pontos são:
[tex3]\(A,B;C,D\) =\(B,A;D,C\) =\(C,D;A,B\) =\(D,C;B,A\) = \lambda [/tex3]
[tex3]\(A,B;D,C\) =\(B,A;C,D\) =\(C,D;B,A\) =\(D,C;A,B\) = \frac1{\lambda} [/tex3]
[tex3]\(A,C;B,D\) =\(B,D;A,C\) =\(C,A;D,B\) =\(D,B;C,A\) = 1-\lambda [/tex3]
[tex3]\(A,C;D,B\) =\(B,D;C,A\) =\(C,A;B,D\) =\(D,B;A,C\) = \frac1{1-\lambda} [/tex3]
[tex3]\(A,D;B,C\) =\(B,C;A,D\) =\(C,B;D,A\) =\(D,A;C,B\) = \frac{\lambda-1}{\lambda} [/tex3]
[tex3]\(A,C;C,B\) =\(B,C;D,A\) =\(C,B;A,D\) =\(D,A;B,C\) = \frac{\lambda}{\lambda-1} [/tex3]
definição:
O segmento [tex3]CD[/tex3] divide harmonicamente o segmento [tex3]AB[/tex3] quando [tex3]\(A,B;C,D\)=-1[/tex3] e escreve-se de forma enxuta [tex3]\mathcal H\(A,B;C,D\)[/tex3] .
note que se [tex3]\(A,B;C,D\) = 2[/tex3] então [tex3]\mathcal H\(A,C;B,D\)[/tex3] e que se [tex3]\(A,B;C,D\) = \frac12[/tex3] então [tex3]\mathcal H\(A,D;B,C\)[/tex3] . Então há quadras harmônicas no conjunto [tex3]\{A,B,C,D\}[/tex3] quando a razão anarmônica entre eles está em [tex3]\{-1,\frac12,2\}[/tex3] .
5 - A inversão preserva a razão anarmônica na reta:
Prova: [tex3]\(A,B;C,D\) = \frac{\overline{AC} \cdot \overline{BD}}{\overline{BC} \cdot \overline {AD}} = \frac{\(\overline{OC} -\overline{OA}\) \cdot \(\overline{OD} -\overline{OB}\)}{\(\overline{OC} -\overline{OB}\) \cdot \(\overline{OD} -\overline{OA}\)}=[/tex3]
[tex3]=\frac{\(\frac{R^2}{\overline{OC'}} -\frac{R^2}{\overline{OA'}}\) \cdot \(\frac{R^2}{\overline{OD'}} -\frac{R^2}{\overline{OB'}}\)}{\(\frac{R^2}{\overline{OC'}} -\frac{R^2}{\overline{OB'}}\) \cdot \(\frac{R^2}{\overline{OD'}} -\frac{R^2}{\overline{OA'}}\)} = \frac{\overline{A'C'} \cdot \overline{B'D'}}{\overline{B'C'} \cdot \overline {A'D'}} = \(A',B';C',D'\)[/tex3] .
6 - Projeções preservam a razão anarmônica.
Seja um ponto [tex3]M[/tex3] fora da reta [tex3]A,B,C,D[/tex3] e deixe as semi-retas [tex3]MA,MB,MC,MD[/tex3] cruzarem uma segunda reta não paralela a nenhuma das quatro semi-retas nos pontos [tex3]A_1,B_1,C_1,D_1[/tex3]. Então [tex3]\(A,B;C,D\) = \(A_1,B_1;C_1,D_1\)[/tex3].
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[tex3]2 \cdot [CMA] = h \cdot CA = MC \cdot MA \cdot \sen{\angle CMA}[/tex3]
[tex3]2 \cdot [CMB] = h \cdot CB = MC \cdot MB \cdot \sen{\angle CMB}[/tex3]
[tex3]2 \cdot [DMA] = h \cdot DA = MD \cdot MA \cdot \sen{\angle DMA}[/tex3]
[tex3]2 \cdot [DMB] = h \cdot DB = MD \cdot MB \cdot \sen{\angle DMB}[/tex3]
de onde [tex3]\(A,B;C,D\) = \frac{\sen \angle CMA}{\sen \angle CMB} \cdot \frac{\sen \angle DMB}{\sen \angle DMA} = \frac{\sen \angle C_1MA_1}{\sen \angle C_1MB_1} \cdot \frac{\sen \angle D_1MB_1}{\sen \angle D_1MA_1} = \(A_1,B_1;C_1,D_1\) [/tex3] .
Repare que a quantidade [tex3]\frac{\sen \angle CMA}{\sen \angle CMB} \cdot \frac{\sen \angle DMB}{\sen \angle DMA}[/tex3] só depende dos ângulos formados entre as semi-retas e portanto, pode-se definir para 4 retas concorrentes em um ponto [tex3]M[/tex3] a razão anarmônica para linhas retas: [tex3]\(a,b;c,d\) = \frac{\sen \angle cMa}{\sen \angle cMb} \cdot \frac{\sen \angle dMb}{\sen \angle dMa}[/tex3] desde que se adote ângulos orientados positivamente em algum sentido, geralmente o anti-horário.
Representa-se a projeção do ponto [tex3]M[/tex3] da seguinte forma:
[tex3]ABCD \frac{M}{\overline\wedge} A_1B_1C_1D_1[/tex3]
Parte Final
