Eu não podia deixar de fazer esses últimos dois tópicos depois de ter começado os outros, desculpem qualquer coisa.
Começamos definindo segmentos orientados, atribuímos um sinal ao segmento [tex3]\overline{PA}[/tex3]
a convenção é que:
[tex3]\overline{PA} = \overline{OA} - \overline{OP}[/tex3]
para um ponto [tex3]O[/tex3]
na reta [tex3]PA[/tex3]
.
Essa notação é intuitiva, o segmento assemelha-se com um vetor partindo de [tex3]P[/tex3]
indo para [tex3]A[/tex3]
.
É fácil ver que:
[tex3]\overline{PA} = -\overline{AP}[/tex3]
agora definimos a razão entre segmentos:
Dados dois pontos fixos [tex3]A[/tex3]
e [tex3]B[/tex3]
, tome um ponto [tex3]P[/tex3]
na reta [tex3]AB[/tex3]
.
Dizemos que [tex3]P[/tex3]
divide [tex3]AB[/tex3]
na razão [tex3]r[/tex3]
se:
[tex3]r = \frac{\overline{PA}}{\overline{PB}}[/tex3]
.
Note que quanto mais distante [tex3]P[/tex3]
for de [tex3]A[/tex3]
e [tex3]B[/tex3]
mais próxima de [tex3]1[/tex3]
é [tex3]r[/tex3]
.
[tex3]r<0 \iff P[/tex3]
está no interior do segmento [tex3]AB[/tex3]
.
[tex3]r>0[/tex3]
se, e somente se, [tex3]P[/tex3]
está fora do segmento.
[tex3]r= 0 \iff P=A[/tex3]
e [tex3]r[/tex3]
não está definida quando [tex3]P=B[/tex3]
e apenas neste caso.
1 - Dados [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3] fixos. Se [tex3]k \neq 1[/tex3] então existe um único ponto [tex3]P[/tex3] na reta [tex3]AB[/tex3] tal que a razão [tex3]\frac{\overline{PA}}{\overline{PB}} = k[/tex3].
Prova: sejam [tex3]\overline{AB} = a[/tex3]
e [tex3]\overline{PA} = x[/tex3]
então [tex3]\overline{PB} = \overline{PA} + \overline{AB} = x+a[/tex3]
então
[tex3]k = \frac x{x+a} \iff x\(k-1\) = ak \rightarrow x = \frac{ak}{k-1}[/tex3]
e esta função é injetora em [tex3]k[/tex3]
.
Razão anarmônica:
Dados quatro pontos [tex3]A,B,C,D[/tex3]
colineares, definimos a razão anarmônica entre eles como:
[tex3]\(A,B;C,D\) = \frac{\overline{AC} \cdot \overline{BD}}{\overline{BC} \cdot \overline {AD}} = \frac{\frac{\overline{CA}}{\overline{CB}}}{ \frac{\overline{DA}}{\overline{DB}}} [/tex3]
Ou seja, é a divisão entre a razão com a qual [tex3]C[/tex3]
divide [tex3]AB[/tex3]
sobre a razão com a qual [tex3]D[/tex3]
divide o mesmo segmento. Há 24 possíveis combinações dos pontos [tex3]A,B,C,D[/tex3]
na equação da razão anarmônica.
2- A razão anarmônica de quatro pontos distintos nunca vale +1.
Prova: se [tex3]\(A,B;C,D\) = 1[/tex3]
então [tex3]C[/tex3]
e [tex3]D[/tex3]
dividem o segmento [tex3]AB[/tex3]
na mesma razão, pelo Teorema 1 temos que [tex3]B=C[/tex3]
.
3 - [tex3]\(A,B;C,D\) < 0 [/tex3]se, e somente se, um dos pontos [tex3]C[/tex3] ou [tex3]D[/tex3] está no interior de [tex3]AB[/tex3] e o outro está fora.
4 - [tex3]\(A,B;C,D\) \neq \(A,B;C,E\) \iff D \neq E[/tex3].
As possíveis razões anarmônicas para [tex3]4[/tex3]
pontos são:
[tex3]\(A,B;C,D\) =\(B,A;D,C\) =\(C,D;A,B\) =\(D,C;B,A\) = \lambda [/tex3]
[tex3]\(A,B;D,C\) =\(B,A;C,D\) =\(C,D;B,A\) =\(D,C;A,B\) = \frac1{\lambda} [/tex3]
[tex3]\(A,C;B,D\) =\(B,D;A,C\) =\(C,A;D,B\) =\(D,B;C,A\) = 1-\lambda [/tex3]
[tex3]\(A,C;D,B\) =\(B,D;C,A\) =\(C,A;B,D\) =\(D,B;A,C\) = \frac1{1-\lambda} [/tex3]
[tex3]\(A,D;B,C\) =\(B,C;A,D\) =\(C,B;D,A\) =\(D,A;C,B\) = \frac{\lambda-1}{\lambda} [/tex3]
[tex3]\(A,C;C,B\) =\(B,C;D,A\) =\(C,B;A,D\) =\(D,A;B,C\) = \frac{\lambda}{\lambda-1} [/tex3]
definição:
O segmento [tex3]CD[/tex3]
divide harmonicamente o segmento [tex3]AB[/tex3]
quando [tex3]\(A,B;C,D\)=-1[/tex3]
e escreve-se de forma enxuta [tex3]\mathcal H\(A,B;C,D\)[/tex3]
.
note que se [tex3]\(A,B;C,D\) = 2[/tex3]
então [tex3]\mathcal H\(A,C;B,D\)[/tex3]
e que se [tex3]\(A,B;C,D\) = \frac12[/tex3]
então [tex3]\mathcal H\(A,D;B,C\)[/tex3]
. Então há quadras harmônicas no conjunto [tex3]\{A,B,C,D\}[/tex3]
quando a razão anarmônica entre eles está em [tex3]\{-1,\frac12,2\}[/tex3]
.
5 - A inversão preserva a razão anarmônica na reta:
Prova: [tex3]\(A,B;C,D\) = \frac{\overline{AC} \cdot \overline{BD}}{\overline{BC} \cdot \overline {AD}} = \frac{\(\overline{OC} -\overline{OA}\) \cdot \(\overline{OD} -\overline{OB}\)}{\(\overline{OC} -\overline{OB}\) \cdot \(\overline{OD} -\overline{OA}\)}=[/tex3]
[tex3]=\frac{\(\frac{R^2}{\overline{OC'}} -\frac{R^2}{\overline{OA'}}\) \cdot \(\frac{R^2}{\overline{OD'}} -\frac{R^2}{\overline{OB'}}\)}{\(\frac{R^2}{\overline{OC'}} -\frac{R^2}{\overline{OB'}}\) \cdot \(\frac{R^2}{\overline{OD'}} -\frac{R^2}{\overline{OA'}}\)} = \frac{\overline{A'C'} \cdot \overline{B'D'}}{\overline{B'C'} \cdot \overline {A'D'}} = \(A',B';C',D'\)[/tex3]
.
6 - Projeções preservam a razão anarmônica.
Seja um ponto [tex3]M[/tex3] fora da reta [tex3]A,B,C,D[/tex3] e deixe as semi-retas [tex3]MA,MB,MC,MD[/tex3] cruzarem uma segunda reta não paralela a nenhuma das quatro semi-retas nos pontos [tex3]A_1,B_1,C_1,D_1[/tex3]. Então [tex3]\(A,B;C,D\) = \(A_1,B_1;C_1,D_1\)[/tex3].
Prova:
[tex3]2 \cdot [CMA] = h \cdot CA = MC \cdot MA \cdot \sen{\angle CMA}[/tex3]
[tex3]2 \cdot [CMB] = h \cdot CB = MC \cdot MB \cdot \sen{\angle CMB}[/tex3]
[tex3]2 \cdot [DMA] = h \cdot DA = MD \cdot MA \cdot \sen{\angle DMA}[/tex3]
[tex3]2 \cdot [DMB] = h \cdot DB = MD \cdot MB \cdot \sen{\angle DMB}[/tex3]
de onde [tex3]\(A,B;C,D\) = \frac{\sen \angle CMA}{\sen \angle CMB} \cdot \frac{\sen \angle DMB}{\sen \angle DMA} = \frac{\sen \angle C_1MA_1}{\sen \angle C_1MB_1} \cdot \frac{\sen \angle D_1MB_1}{\sen \angle D_1MA_1} = \(A_1,B_1;C_1,D_1\) [/tex3]
.
Repare que a quantidade [tex3]\frac{\sen \angle CMA}{\sen \angle CMB} \cdot \frac{\sen \angle DMB}{\sen \angle DMA}[/tex3]
só depende dos ângulos formados entre as semi-retas e portanto, pode-se definir para 4 retas concorrentes em um ponto [tex3]M[/tex3]
a razão anarmônica para linhas retas: [tex3]\(a,b;c,d\) = \frac{\sen \angle cMa}{\sen \angle cMb} \cdot \frac{\sen \angle dMb}{\sen \angle dMa}[/tex3]
desde que se adote ângulos orientados positivamente em algum sentido, geralmente o anti-horário.
Representa-se a projeção do ponto [tex3]M[/tex3]
da seguinte forma:
[tex3]ABCD \frac{M}{\overline\wedge} A_1B_1C_1D_1[/tex3]
Parte Final
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Demonstrações ⇒ Razão anarmônica na reta (cross-ratio) 1
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Jan 2019
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Razão anarmônica na reta (cross-ratio) 1
Editado pela última vez por Auto Excluído (ID:12031) em 16 Jan 2019, 03:25, em um total de 1 vez.
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Out 2020
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01:59
Re: Razão anarmônica na reta (cross-ratio) 1
Aqui uma questão bem interessante sobre razão anarmônica (cross-ratio)
Olympiad Geometry Problem #12: Isosceles Triangle, Angle Bisector, Midpoint
Olympiad Geometry Problem #12: Isosceles Triangle, Angle Bisector, Midpoint
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
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