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Definição
A inversão é uma transformação no plano definida a partir de um círculo fixo ([tex3]c[/tex3] ) de centro [tex3]O[/tex3] e raio [tex3]R[/tex3] que leva um ponto [tex3]A[/tex3] qualquer num ponto [tex3]A'[/tex3] tal que [tex3]A'[/tex3] esteja na semi-reta [tex3]OA[/tex3] (semi-reta é a extensão infinita do segmento [tex3]OA[/tex3] apenas na direção de [tex3]O[/tex3] para [tex3]A[/tex3] como na imagem abaixo) e [tex3]\overline{OA} \cdot \overline{OA'} = R^2[/tex3] .
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1 - Se [tex3]A'[/tex3] é o inverso de [tex3]A[/tex3] com respeito a um círculo fixo então [tex3]A[/tex3] também é o inverso de [tex3]A'[/tex3] com respeito ao mesmo círculo.
Prova: para encontrarmos [tex3]A'[/tex3] traçamos a semi-reta [tex3]OA[/tex3] e a marcamos sobre ela o único ponto tal que [tex3]\overline{OA'} = \frac{R^2}{\overline{OA}}[/tex3] para encontrarmos o inverso de [tex3]A'[/tex3] traçamos a semi-reta [tex3]OA'[/tex3] que é a mesma que [tex3]OA[/tex3] e marcamos sobre ela o único ponto que dista [tex3]\frac{R^2}{\overline{OA'}} = \frac{R^2}{\frac{R^2}{\overline{OA}}} = \overline{OA}[/tex3] do ponto [tex3]O[/tex3] , ou seja, o ponto [tex3]A[/tex3] .
2 - Todo ponto do plano tem um inverso, exceto [tex3]O[/tex3]. (alguns autores utilizam um ponto no infinito, não farei isso)
3 - Um ponto dentro do círculo é invertido em um ponto fora do círculo e vice-versa.
Prova: Se [tex3]A[/tex3] está dentro de [tex3]c[/tex3] ,[tex3]\overline{OA} < R \implies \frac{R^2}{\overline{OA}} > R \iff \overline{OA'}>R[/tex3]
4 - Apenas pontos na circunferência de inversão não são alterados por essa transformação. [tex3]A=A' \implies \overline{OA} = \overline{OA'} = R[/tex3].
5 - Pode-se encontrar o inverso de um ponto [tex3]A[/tex3] externo ao círculo de inversão através do encontro do segmento [tex3]OA[/tex3] com a reta [tex3]T_1T_2[/tex3] que une os pontos de contato das tangentes de [tex3]A[/tex3] ao círculo.
Prova: Sabemos que [tex3]T_1T_2[/tex3] é perpendicular à [tex3]OA[/tex3] pois [tex3]OA[/tex3] é mediatriz de [tex3]T_1T_2[/tex3] já que [tex3]\overline{OT_1} = \overline{OT_2}[/tex3] e [tex3]\overline{AT_1} = \overline{AT_2}[/tex3] , também sabemos que [tex3]\angle OT_1A = 90[/tex3] sendo então [tex3]P = T_1T_2 \cap OA[/tex3] o pé da altura de [tex3]T_1[/tex3] no triângulo retângulo [tex3]AT_1O[/tex3] das relações métricas temos: [tex3]\overline{OP} \cdot \overline{OA} = \overline{OT_1}^2 = R^2 \implies P = A'[/tex3] .
6 - Para encontrar o inverso de um ponto [tex3]A[/tex3] no interior do círculo basta traçar a perpendicular ao segmento [tex3]OA[/tex3] por [tex3]A[/tex3] deixá-la encontrar o círculo em [tex3]P[/tex3] e deixar a perpendicular à [tex3]OP[/tex3] por [tex3]P[/tex3] encontrar a semi-reta [tex3]OA[/tex3] em [tex3]A'[/tex3].
7 - Pode-se construir inversos de um ponto apenas com o compasso.
Prova : Se [tex3]OA > \frac R2[/tex3] deixe o círculo de centro [tex3]A[/tex3] e raio [tex3]OA[/tex3] cruzar o círculo de inversão em [tex3]X[/tex3] e [tex3]Y[/tex3] os círculos centrados em [tex3]X[/tex3] e [tex3]Y[/tex3] de raios [tex3]OX[/tex3] e [tex3]OY[/tex3] respectivamente se cruzam em [tex3]O[/tex3] e em [tex3]A'[/tex3] . A prova para o caso [tex3]OA < \frac R2[/tex3] é longa e imprática mas existe.
8 - Se [tex3]P[/tex3] e [tex3]Q[/tex3] são pontos quaisquer os triângulos [tex3]\Delta OPQ[/tex3] e [tex3]\Delta OQ'P'[/tex3] são semelhantes.
Prova: o ângulo [tex3]\angle POQ = \angle P'OQ'[/tex3] pois os inversos estão na mesma semi-reta com [tex3]O[/tex3] que os originais e [tex3]\overline{PO} \cdot \overline{P'O} = \overline{QO} \cdot \overline{Q'O} \iff \frac{\overline{PO}}{\overline{OQ}} = \frac{\overline{Q'O}}{\overline{P'O}}[/tex3] então são semelhantes por LAL, mas os ângulos trocam de lado e [tex3]PQ[/tex3] não é paralela à [tex3]P'Q'[/tex3] .
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Prova: obviamente o quadrilátero descrito é cíclico pois [tex3]\angle PQQ' + \angle Q'P'P = 180[/tex3] como a potência de [tex3]O[/tex3] em relação ao círculo que passa por esses quatro pontos é [tex3]R^2[/tex3] então [tex3]\overline{Oo}^2 - r^2 = R^2 \iff \overline{Oo^2} = R^2+r^2[/tex3] o que implica que os círculos são ortogonais.
Parte 2: Inversão 2
