Teorema:
Dada uma circunferência [tex3]\Gamma[/tex3]
e uma corda [tex3]AB[/tex3]
da mesma então os únicos pontos de [tex3]\Gamma[/tex3]
cujas retas tangentes são paralelas à corda [tex3]AB[/tex3]
são os pontos médios [tex3]M[/tex3]
e [tex3]N[/tex3]
dos arcos [tex3]\widehat{AB}[/tex3]
.
Seja [tex3]g[/tex3]
a mediatriz de [tex3]AB[/tex3]
, como os triângulos [tex3]\Delta AMB[/tex3]
e [tex3]\Delta ANB[/tex3]
são isósceles com [tex3]\angle BAM = \angle ABM[/tex3]
e [tex3]\angle BAN = \angle ABN[/tex3]
então [tex3]AM= BM[/tex3]
e [tex3]AN = BN[/tex3]
logo [tex3]M[/tex3]
e [tex3]N[/tex3]
estão em [tex3]g[/tex3]
.
O centro [tex3]O[/tex3]
de [tex3]\Gamma[/tex3]
também está em [tex3]g[/tex3]
pois [tex3]OA = OB = R[/tex3]
.
Como a reta tangente à [tex3]\Gamma[/tex3]
por [tex3]M[/tex3]
([tex3]N[/tex3]
) é perpendicular à reta [tex3]OM[/tex3]
([tex3]ON[/tex3]
) que no caso é [tex3]g[/tex3]
e [tex3]g[/tex3]
é também perpendicular à [tex3]AB[/tex3]
.Então a tangente por [tex3]M[/tex3]
([tex3]N[/tex3]
) é paralela à [tex3]AB[/tex3]
.
Suponha que exista um ponto [tex3]K[/tex3]
em [tex3]\Gamma[/tex3]
tal que a tangente por [tex3]K[/tex3]
é paralela à tangente por [tex3]M[/tex3]
então [tex3]OK[/tex3]
é paralela à [tex3]OM[/tex3]
já que [tex3]OK[/tex3]
é perpendicular à tangente por [tex3]K[/tex3]
que é paralela à tangente por [tex3]M[/tex3]
que é perpendicular à [tex3]OM[/tex3]
.
Logo [tex3]OK[/tex3]
e [tex3]OM[/tex3]
são paralelas e ambas passam por [tex3]O[/tex3]
portanto [tex3]O,K,M[/tex3]
são alinhados e então só podemos ter [tex3]K=N[/tex3]
.
Logo os únicos dois pontos da circunferência com a tangente paralela à [tex3]AB[/tex3]
são [tex3]M[/tex3]
e [tex3]N[/tex3]
.
Resultados análogos ocorrem para todas as cônicas.
Demonstrações ⇒ Demonstração - Reta tangente é paralela à corda nos pontos médios dos arcos
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Demonstração - Reta tangente é paralela à corda nos pontos médios dos arcos
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