Teorema:
Dada uma circunferência [tex3]\Gamma[/tex3]
e uma corda [tex3]AB[/tex3]
da mesma então os únicos pontos de [tex3]\Gamma[/tex3]
cujas retas tangentes são paralelas à corda [tex3]AB[/tex3]
são os pontos médios [tex3]M[/tex3]
e [tex3]N[/tex3]
dos arcos [tex3]\widehat{AB}[/tex3]
.
Seja [tex3]g[/tex3]
a mediatriz de [tex3]AB[/tex3]
, como os triângulos [tex3]\Delta AMB[/tex3]
e [tex3]\Delta ANB[/tex3]
são isósceles com [tex3]\angle BAM = \angle ABM[/tex3]
e [tex3]\angle BAN = \angle ABN[/tex3]
então [tex3]AM= BM[/tex3]
e [tex3]AN = BN[/tex3]
logo [tex3]M[/tex3]
e [tex3]N[/tex3]
estão em [tex3]g[/tex3]
.
O centro [tex3]O[/tex3]
de [tex3]\Gamma[/tex3]
também está em [tex3]g[/tex3]
pois [tex3]OA = OB = R[/tex3]
.
Como a reta tangente à [tex3]\Gamma[/tex3]
por [tex3]M[/tex3]
([tex3]N[/tex3]
) é perpendicular à reta [tex3]OM[/tex3]
([tex3]ON[/tex3]
) que no caso é [tex3]g[/tex3]
e [tex3]g[/tex3]
é também perpendicular à [tex3]AB[/tex3]
.Então a tangente por [tex3]M[/tex3]
([tex3]N[/tex3]
) é paralela à [tex3]AB[/tex3]
.
Suponha que exista um ponto [tex3]K[/tex3]
em [tex3]\Gamma[/tex3]
tal que a tangente por [tex3]K[/tex3]
é paralela à tangente por [tex3]M[/tex3]
então [tex3]OK[/tex3]
é paralela à [tex3]OM[/tex3]
já que [tex3]OK[/tex3]
é perpendicular à tangente por [tex3]K[/tex3]
que é paralela à tangente por [tex3]M[/tex3]
que é perpendicular à [tex3]OM[/tex3]
.
Logo [tex3]OK[/tex3]
e [tex3]OM[/tex3]
são paralelas e ambas passam por [tex3]O[/tex3]
portanto [tex3]O,K,M[/tex3]
são alinhados e então só podemos ter [tex3]K=N[/tex3]
.
Logo os únicos dois pontos da circunferência com a tangente paralela à [tex3]AB[/tex3]
são [tex3]M[/tex3]
e [tex3]N[/tex3]
.
Resultados análogos ocorrem para todas as cônicas.
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Demonstrações ⇒ Demonstração - Reta tangente é paralela à corda nos pontos médios dos arcos
Moderador: [ Moderadores TTB ]
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Dez 2018
15
20:59
Demonstração - Reta tangente é paralela à corda nos pontos médios dos arcos
Editado pela última vez por Auto Excluído (ID:12031) em 15 Dez 2018, 21:15, em um total de 2 vezes.
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