Demonstração - Máximo de funções do tipo A sen x + B cos x.
Enviado: Qua 12 Dez, 2018 16:13
Olá, galera, blz?? É comum encontrar a seguinte demonstração por meio de geometria, o que acho extremamente válido, pois é muito mais ágil e conciso; queria trazer o desenvolvimento algébrico, só por curiosidade mesmo. Assim como eu, pode haver pessoas que gostariam apenas de saber como seria isso, mas não encontravam, ou dificilmente acharam, essa demonstração por meio das ferramentas de cálculo. Vlew por visitar o tópico e boa leitura 
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[tex3]\text{Demonstração:}\hspace{10pt} g_{\text{máximo}}=\sqrt{A^2+B^2},\;\text {para funções do tipo}\; g(x)=A\cdot \sen x + B\cdot \cos x\;\;\text{por meio de derivada e propriedades trigonométricas }[/tex3]
Seja a função [tex3]g(x)=A\cdot \sen x + B\cdot \cos x[/tex3] , cujo domínio está delimitado a [tex3]]-\frac{\pi}{2}\; ; \; \frac{\pi}{2} [ [/tex3] . Para buscar o valor de g(x) máximo, basta que [tex3]g'(x)=0[/tex3] e que, para esse dado valor de "x" encontrado, [tex3]g''(x)<0[/tex3] , consoante ao teorema de Fermat e ao Critério geral para pesquisar extremantes. Além disso, não se pode esquecer dos casos em que [tex3]g'(x)=g''(x)=g'''(x)=0\;\;e\;\;g''''(x)<0[/tex3] . Por fim, deve-se operar o caso particular em que [tex3]A=B[/tex3] .
Parte 1: derivada primeira igual a zero e derivada segunda menor que zero.
Com base nisso:
1) [tex3]\frac{d\[ g(x) \]}{dx}=A\cdot \cos x -B\cdot\sen x = 0\;\;\Leftrightarrow\;A\cdot \cos x = B\cdot \sen x \;\;\Rightarrow\;\tg x=\frac{A}{B}\\ \therefore\boxed{ x=\arctg\(\frac{A}{B} \)}[/tex3] ;
2) [tex3]\frac{d^2\[ g(x) \]}{dx^2}<0\;\Rightarrow \; \color{blue}{\boxed{-A\cdot \sen \[\arctg\(\frac{A}{B}\)\] -B\cdot \cos \[ \arctg\(\frac{A}{B}\)\]<0}}\hspace{10pt} \color{blue}{\text{(i)}} [/tex3]
>>2.1) Seja o ângulo [tex3]\theta = \arctg (y) \;\;\Leftrightarrow \;\;\tg \theta = \frac{y}{1}[/tex3] , em que [tex3]y=\frac{A}{B}[/tex3] ; face a isso, vamos montar um triângulo retângulo cujos catetos valham 1 e y, e, por conseguinte, tenha hipotenusa de valor [tex3]\sqrt {1+y^2}[/tex3] :
Da figura, nota-se que [tex3]\begin{cases}
\sen \theta = \sen \[\arctg (y)\]=\frac{y}{\sqrt {1+y^2}} \\ \\
\cos \theta = \cos \[\arctg (y)\]=\frac{1}{\sqrt {1+y^2}}
\end{cases}\;\;\Leftrightarrow\;\;\begin{cases}
\color{green}{\boxed{\sen \[\arctg \(\frac{A}{B} \)\]=\frac{A}{\sqrt {B^2+A^2}}}\hspace{10pt}\text{(ii)}} \\
\\
\color{red}{\boxed{\cos \[\arctg \(\frac{A}{B} \)\]=\frac{B}{\sqrt {B^2+A^2}}}\hspace{10pt}\text{(iii)}}
\end{cases}\;\;\;,\hspace{20pt} \text{lembrando que}\;y=\frac{A}{B}[/tex3]
Desse modo, pode-se substituir as equações (ii) e (iii) na inequação (i):
[tex3]-A\cdot \(\frac{A}{\sqrt {B^2+A^2}} \) -B\cdot \(\frac{B}{\sqrt {B^2+A^2}} \)<0\;\;\Rightarrow\;\;\boxed{A^2> -B^2}[/tex3] .
3) Bom, até agora discutimos acerca do valor de "x"; precisamos colocar na função g(x) o valor [tex3]x=\arctg\(\frac{A}{B} \)[/tex3] para que assim achemos o valor máximo da função dada:
[tex3]g\(\arctg\(\frac{A}{B}\)\)=A\cdot \sen \(\arctg\(\frac{A}{B}\)\)+B\cdot\cos \(\arctg\(\frac{A}{B}\)\) [/tex3] .
Aplicando-se o que encontramos em (ii) e em (iii):
[tex3]g\(\arctg\(\frac{A}{B}\)\)=A\cdot \frac{A}{\sqrt {B^2+A^2}}+B\cdot \frac{B}{\sqrt {B^2+A^2}}=\frac{(A^2+B^2)^1}{\(A^2+B^2\)^{0.5}}=(A^2+B^2)^{0.5}[/tex3] . Logo, para o caso em que [tex3]A^2>-B^2[/tex3] , é válido que [tex3]\boxed{ g_{\text{máximo}}=\sqrt{A^2+B^2}}[/tex3]
Parte 2: derivada terceira igual a zero e derivada quarta menor que zero.
1) [tex3]\frac{d^3\[ g(x) \]}{dx^3}=-A\cdot \cos x +B\cdot\sen x = 0\;\;\Leftrightarrow\;B\cdot \sen x=A\cdot \cos x\;\;\Rightarrow\;\boxed{x=\arctg\(\frac{A}{B}\)}[/tex3] ;
2) [tex3]\frac{d^4\[ g(x) \]}{dx^4}=A\cdot \sen \[\arctg\(\frac{A}{B}\)\] +B\cdot\cos \[\arctg\(\frac{A}{B}\)\] < 0\;\;\Leftrightarrow\;A\cdot \(\frac{A}{\sqrt {B^2+A^2}} \) +B\cdot \(\frac{B}{\sqrt {B^2+A^2}} \)<0[/tex3] , devido ao que calculamos em (ii) e (iii).
[tex3]\Rightarrow\; \boxed{A^2<-B^2}[/tex3] , eis a "restrição";
3) Jogando o valor de [tex3]x=\arctg\(\frac{A}{B}\)[/tex3] na função g(x):
[tex3]g\(\arctg\(\frac{A}{B}\)\)=A\cdot \frac{A}{\sqrt {B^2+A^2}}+B\cdot \frac{B}{\sqrt {B^2+A^2}}=\frac{(A^2+B^2)^1}{\(A^2+B^2\)^{0.5}}=(A^2+B^2)^{0.5}[/tex3] . Logo, para o caso em que [tex3]A^2<-B^2[/tex3] , é válido que [tex3]\boxed{ g_{\text{máximo}}=\sqrt{A^2+B^2}}[/tex3]
[tex3]\boxed{\text{OBS: atente que este caso ocorreria no conjunto dos complexos. Ex.:}\;B=i\;\text{e}\;0\leq A<1\;\Rightarrow\;-B^2>A^2 }[/tex3]
Parte 3: o caso em que A = B.
Nota-se que a função g(x) seria dada por: [tex3]g(x)=A\cdot (\sen x + \cos x)[/tex3] ; devido a isso, obseve que ao igualar a zero as derivadas primeira, terceira, quinta (as ímpares), irá fornecer o mesmo falor de x. Portanto, para este caso, basta que a derivada primeira seja igual a zero e que a derivada segunda seja menor do que zero. Entretanto, verificam-se dois casos: A<0 e A>0.
Caso A>0
1) [tex3]\frac{d\[ g(x) \]}{dx}=A\cdot \cos x -A\cdot\sen x = 0\;\;\Leftrightarrow\;A\cdot \cos x = A\cdot \sen x \;\;\Rightarrow\;\tg x=\frac{A}{A}\\ \therefore{ x=\arctg\(\frac{A}{A} \)}[/tex3] .
Ora, [tex3]\arctg (1)=\pi/4[/tex3] . Logo: [tex3]x=\frac{\pi}{4}[/tex3] ;
2) [tex3]g''\(\frac{\pi}{4}\)=-A\cdot \(\sen \frac{\pi}{4}+\cos \frac{\pi}{4}\)=-A\cdot \sqrt 2[/tex3] . É evidente que [tex3]g''\(\frac{\pi}{4}\)<0[/tex3] ocorre se, e somente se, [tex3]A>0[/tex3] , que é a condição para que neste ponto ocorra o valor máximo da função g;
3) partindo desse princípio:
[tex3]g\(\arctg\(\frac{A}{A}\)\)=A\cdot \frac{A}{\sqrt {A^2+A^2}}+A\cdot \frac{A}{\sqrt {A^2+A^2}}=\frac{(A^2+A^2)^1}{\(A^2+A^2\)^{0.5}}=(A^2+A^2)^{0.5}[/tex3] . Logo, para o caso em que [tex3]A=B\;\;e\;\;A>0[/tex3] , é válido que [tex3]\boxed{ g_{\text{máximo}}=\sqrt{A^2+B^2}}[/tex3]
Caso A<0
1) [tex3]\frac{d\[ g(x) \]}{dx}=A\cdot \cos x -A\cdot\sen x = 0\;\;\Leftrightarrow\;A\cdot \cos x = A\cdot \sen x \;\;\Rightarrow\;\tg x=\frac{A}{A}\\ \therefore{ x=\arctg\(\frac{A}{A} \)}[/tex3] . Ora, [tex3]\arctg (1)=\pi/4[/tex3] . Logo: [tex3]x=\frac{\pi}{4}[/tex3] ;
2) [tex3]g''\(\frac{\pi}{4}\)=-A\cdot \(\sen \frac{\pi}{4}+\cos \frac{\pi}{4}\)=-A\cdot \sqrt 2[/tex3] . Como [tex3]A<0\;\Rightarrow\;g''\(\frac{\pi}{4}\)>0[/tex3] , o que torna este ponto um valor mínimo da função g !!!
Conclusão >>>dada uma função [tex3]g(x)=A\cdot \sen x + B \cdot \cos x[/tex3] :
Perceba que [tex3]\boxed{\begin{cases}
A^2>-B^2\;\;ou \\
A^2<-B^2\;\;ou \\
A=B,\;\text{ se}\; A>0
\end{cases}\; \text{são as possíveis condições para poder aplicar a fórmula}\; \boxed{ g_{\text{máximo}}=\sqrt{A^2+B^2}}}[/tex3] ;
Além disso, provamos que:[tex3]\boxed{\text{se}\; A=B\; \text{e}\; A<0,\; \text{é válido dizer que}\; \boxed{ g_{\text{mínimo}}=\sqrt{A^2+A^2}=A\cdot \sqrt 2}}[/tex3]
[tex3]\boxed{\text{OBS: não se esqueçam de que restringi a função g(x) para que fosse possível aplicar a operação "arctg";} \\ \text{ é partindo destas observações que encontramos os referidos resultados. É axiomático também que neste}\\ \text{intervalo ou a função apenas possui 1 máximo ou 1 mínimo, nunca ambos. De fato, fiz um corte na função a fim de estudá-la. }}[/tex3]
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[tex3]\text{Demonstração:}\hspace{10pt} g_{\text{máximo}}=\sqrt{A^2+B^2},\;\text {para funções do tipo}\; g(x)=A\cdot \sen x + B\cdot \cos x\;\;\text{por meio de derivada e propriedades trigonométricas }[/tex3]
Seja a função [tex3]g(x)=A\cdot \sen x + B\cdot \cos x[/tex3] , cujo domínio está delimitado a [tex3]]-\frac{\pi}{2}\; ; \; \frac{\pi}{2} [ [/tex3] . Para buscar o valor de g(x) máximo, basta que [tex3]g'(x)=0[/tex3] e que, para esse dado valor de "x" encontrado, [tex3]g''(x)<0[/tex3] , consoante ao teorema de Fermat e ao Critério geral para pesquisar extremantes. Além disso, não se pode esquecer dos casos em que [tex3]g'(x)=g''(x)=g'''(x)=0\;\;e\;\;g''''(x)<0[/tex3] . Por fim, deve-se operar o caso particular em que [tex3]A=B[/tex3] .
Parte 1: derivada primeira igual a zero e derivada segunda menor que zero.
Com base nisso:
1) [tex3]\frac{d\[ g(x) \]}{dx}=A\cdot \cos x -B\cdot\sen x = 0\;\;\Leftrightarrow\;A\cdot \cos x = B\cdot \sen x \;\;\Rightarrow\;\tg x=\frac{A}{B}\\ \therefore\boxed{ x=\arctg\(\frac{A}{B} \)}[/tex3] ;
2) [tex3]\frac{d^2\[ g(x) \]}{dx^2}<0\;\Rightarrow \; \color{blue}{\boxed{-A\cdot \sen \[\arctg\(\frac{A}{B}\)\] -B\cdot \cos \[ \arctg\(\frac{A}{B}\)\]<0}}\hspace{10pt} \color{blue}{\text{(i)}} [/tex3]
>>2.1) Seja o ângulo [tex3]\theta = \arctg (y) \;\;\Leftrightarrow \;\;\tg \theta = \frac{y}{1}[/tex3] , em que [tex3]y=\frac{A}{B}[/tex3] ; face a isso, vamos montar um triângulo retângulo cujos catetos valham 1 e y, e, por conseguinte, tenha hipotenusa de valor [tex3]\sqrt {1+y^2}[/tex3] :
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\sen \theta = \sen \[\arctg (y)\]=\frac{y}{\sqrt {1+y^2}} \\ \\
\cos \theta = \cos \[\arctg (y)\]=\frac{1}{\sqrt {1+y^2}}
\end{cases}\;\;\Leftrightarrow\;\;\begin{cases}
\color{green}{\boxed{\sen \[\arctg \(\frac{A}{B} \)\]=\frac{A}{\sqrt {B^2+A^2}}}\hspace{10pt}\text{(ii)}} \\
\\
\color{red}{\boxed{\cos \[\arctg \(\frac{A}{B} \)\]=\frac{B}{\sqrt {B^2+A^2}}}\hspace{10pt}\text{(iii)}}
\end{cases}\;\;\;,\hspace{20pt} \text{lembrando que}\;y=\frac{A}{B}[/tex3]
Desse modo, pode-se substituir as equações (ii) e (iii) na inequação (i):
[tex3]-A\cdot \(\frac{A}{\sqrt {B^2+A^2}} \) -B\cdot \(\frac{B}{\sqrt {B^2+A^2}} \)<0\;\;\Rightarrow\;\;\boxed{A^2> -B^2}[/tex3] .
3) Bom, até agora discutimos acerca do valor de "x"; precisamos colocar na função g(x) o valor [tex3]x=\arctg\(\frac{A}{B} \)[/tex3] para que assim achemos o valor máximo da função dada:
[tex3]g\(\arctg\(\frac{A}{B}\)\)=A\cdot \sen \(\arctg\(\frac{A}{B}\)\)+B\cdot\cos \(\arctg\(\frac{A}{B}\)\) [/tex3] .
Aplicando-se o que encontramos em (ii) e em (iii):
[tex3]g\(\arctg\(\frac{A}{B}\)\)=A\cdot \frac{A}{\sqrt {B^2+A^2}}+B\cdot \frac{B}{\sqrt {B^2+A^2}}=\frac{(A^2+B^2)^1}{\(A^2+B^2\)^{0.5}}=(A^2+B^2)^{0.5}[/tex3] . Logo, para o caso em que [tex3]A^2>-B^2[/tex3] , é válido que [tex3]\boxed{ g_{\text{máximo}}=\sqrt{A^2+B^2}}[/tex3]
Parte 2: derivada terceira igual a zero e derivada quarta menor que zero.
1) [tex3]\frac{d^3\[ g(x) \]}{dx^3}=-A\cdot \cos x +B\cdot\sen x = 0\;\;\Leftrightarrow\;B\cdot \sen x=A\cdot \cos x\;\;\Rightarrow\;\boxed{x=\arctg\(\frac{A}{B}\)}[/tex3] ;
2) [tex3]\frac{d^4\[ g(x) \]}{dx^4}=A\cdot \sen \[\arctg\(\frac{A}{B}\)\] +B\cdot\cos \[\arctg\(\frac{A}{B}\)\] < 0\;\;\Leftrightarrow\;A\cdot \(\frac{A}{\sqrt {B^2+A^2}} \) +B\cdot \(\frac{B}{\sqrt {B^2+A^2}} \)<0[/tex3] , devido ao que calculamos em (ii) e (iii).
[tex3]\Rightarrow\; \boxed{A^2<-B^2}[/tex3] , eis a "restrição";
3) Jogando o valor de [tex3]x=\arctg\(\frac{A}{B}\)[/tex3] na função g(x):
[tex3]g\(\arctg\(\frac{A}{B}\)\)=A\cdot \frac{A}{\sqrt {B^2+A^2}}+B\cdot \frac{B}{\sqrt {B^2+A^2}}=\frac{(A^2+B^2)^1}{\(A^2+B^2\)^{0.5}}=(A^2+B^2)^{0.5}[/tex3] . Logo, para o caso em que [tex3]A^2<-B^2[/tex3] , é válido que [tex3]\boxed{ g_{\text{máximo}}=\sqrt{A^2+B^2}}[/tex3]
[tex3]\boxed{\text{OBS: atente que este caso ocorreria no conjunto dos complexos. Ex.:}\;B=i\;\text{e}\;0\leq A<1\;\Rightarrow\;-B^2>A^2 }[/tex3]
Parte 3: o caso em que A = B.
Nota-se que a função g(x) seria dada por: [tex3]g(x)=A\cdot (\sen x + \cos x)[/tex3] ; devido a isso, obseve que ao igualar a zero as derivadas primeira, terceira, quinta (as ímpares), irá fornecer o mesmo falor de x. Portanto, para este caso, basta que a derivada primeira seja igual a zero e que a derivada segunda seja menor do que zero. Entretanto, verificam-se dois casos: A<0 e A>0.
Caso A>0
1) [tex3]\frac{d\[ g(x) \]}{dx}=A\cdot \cos x -A\cdot\sen x = 0\;\;\Leftrightarrow\;A\cdot \cos x = A\cdot \sen x \;\;\Rightarrow\;\tg x=\frac{A}{A}\\ \therefore{ x=\arctg\(\frac{A}{A} \)}[/tex3] .
Ora, [tex3]\arctg (1)=\pi/4[/tex3] . Logo: [tex3]x=\frac{\pi}{4}[/tex3] ;
2) [tex3]g''\(\frac{\pi}{4}\)=-A\cdot \(\sen \frac{\pi}{4}+\cos \frac{\pi}{4}\)=-A\cdot \sqrt 2[/tex3] . É evidente que [tex3]g''\(\frac{\pi}{4}\)<0[/tex3] ocorre se, e somente se, [tex3]A>0[/tex3] , que é a condição para que neste ponto ocorra o valor máximo da função g;
3) partindo desse princípio:
[tex3]g\(\arctg\(\frac{A}{A}\)\)=A\cdot \frac{A}{\sqrt {A^2+A^2}}+A\cdot \frac{A}{\sqrt {A^2+A^2}}=\frac{(A^2+A^2)^1}{\(A^2+A^2\)^{0.5}}=(A^2+A^2)^{0.5}[/tex3] . Logo, para o caso em que [tex3]A=B\;\;e\;\;A>0[/tex3] , é válido que [tex3]\boxed{ g_{\text{máximo}}=\sqrt{A^2+B^2}}[/tex3]
Caso A<0
1) [tex3]\frac{d\[ g(x) \]}{dx}=A\cdot \cos x -A\cdot\sen x = 0\;\;\Leftrightarrow\;A\cdot \cos x = A\cdot \sen x \;\;\Rightarrow\;\tg x=\frac{A}{A}\\ \therefore{ x=\arctg\(\frac{A}{A} \)}[/tex3] . Ora, [tex3]\arctg (1)=\pi/4[/tex3] . Logo: [tex3]x=\frac{\pi}{4}[/tex3] ;
2) [tex3]g''\(\frac{\pi}{4}\)=-A\cdot \(\sen \frac{\pi}{4}+\cos \frac{\pi}{4}\)=-A\cdot \sqrt 2[/tex3] . Como [tex3]A<0\;\Rightarrow\;g''\(\frac{\pi}{4}\)>0[/tex3] , o que torna este ponto um valor mínimo da função g !!!
Conclusão >>>dada uma função [tex3]g(x)=A\cdot \sen x + B \cdot \cos x[/tex3] :
Perceba que [tex3]\boxed{\begin{cases}
A^2>-B^2\;\;ou \\
A^2<-B^2\;\;ou \\
A=B,\;\text{ se}\; A>0
\end{cases}\; \text{são as possíveis condições para poder aplicar a fórmula}\; \boxed{ g_{\text{máximo}}=\sqrt{A^2+B^2}}}[/tex3] ;
Além disso, provamos que:[tex3]\boxed{\text{se}\; A=B\; \text{e}\; A<0,\; \text{é válido dizer que}\; \boxed{ g_{\text{mínimo}}=\sqrt{A^2+A^2}=A\cdot \sqrt 2}}[/tex3]
[tex3]\boxed{\text{OBS: não se esqueçam de que restringi a função g(x) para que fosse possível aplicar a operação "arctg";} \\ \text{ é partindo destas observações que encontramos os referidos resultados. É axiomático também que neste}\\ \text{intervalo ou a função apenas possui 1 máximo ou 1 mínimo, nunca ambos. De fato, fiz um corte na função a fim de estudá-la. }}[/tex3]