(Demonstração) Teorema de Burlet
Enviado: Sáb 08 Set, 2018 16:56
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Tese: [tex3]S_{abc}=m*n*cotg(\frac{a}{2})[/tex3]
Seja [tex3]DI=DJ=r[/tex3] sabemos que [tex3]DiC=90º[/tex3] e que [tex3]IbD=\frac{a}{2}[/tex3] pois [tex3]D[/tex3] é incentro.
Note que [tex3]BI=BJ[/tex3] usando um pouco de trigonometria temos:
[tex3]\frac{r}{BI}=\tg(\frac{a}{2})[/tex3]
[tex3]BI=BJ=r*cotg(\frac{a}{2})[/tex3]
Note também que o perímetro desse triangulo é [tex3]2p=2BI+2AE+2JC[/tex3] tal que
[tex3]p=BI+AE+JC[/tex3]
[tex3]p=m+n+r*cotg(\frac{a}{2})[/tex3] (brilhante)
Pelo teorema da circunferencia inscrita temos mais coisas brilhantes:
[tex3]r*cotg(\frac{a}{2})=p-AC[/tex3]
[tex3]m=p-BC[/tex3]
[tex3]n=p-AB[/tex3]
Sabemos que [tex3]S=p*r[/tex3] e que [tex3]S=\sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)}[/tex3]
Substituindo os valores na primeira segunda equação:
[tex3]S=\sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)}[/tex3]
[tex3]S=\sqrt{p(r*cotg(\frac{a}{2})*m*n})[/tex3]
Elevando ao quadrado
[tex3]S^2=p*r*cotg(\frac{a}{2})*m*n[/tex3] repare que [tex3]p*r=S[/tex3]
[tex3]S^2=S*cotg(\frac{a}{2})*m*n[/tex3]
[tex3]S=cotg(\frac{a}{2})*m*n[/tex3]
CASO ESPECIAL se [tex3]a=90º[/tex3] [tex3]S=m*n[/tex3]