(Demonstração) Teorema do incentro

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Autor do Tópico jvmago: Mensagens: 2717; Registrado em: Qui 06 Jul, 2017 14:54; Última visita: 04-04-24

Set 2018 05 15:45

(Demonstração) Teorema do incentro

Mensagem não lidapor jvmago » Qua 05 Set, 2018 15:45

Mensagem não lida por jvmago » Qua 05 Set, 2018 15:45

Fui ler um pouco sobre geometria aqui e me deparei com um dos infinitos casos em que a aplicação do teorema do incentro torna o problema trivial então vou adicionar essa demonstração aqui no fórum.

TESE: [tex3]\frac{a+b}{c}=\frac{m}{n}[/tex3]

: geogebra-export (5).png (55.51 KiB) Exibido 2862 vezes

Seja [tex3]E[/tex3] o incentro do [tex3]\Delta ABC[/tex3] , podemos afirmar com certeza que [tex3]BD[/tex3] é bissetriz. Pelo teorema da bissetriz interna em ABC temos:

[tex3]\frac{x}{a}=\frac{y}{b}[/tex3]
[tex3]\frac{x}{y}=\frac{a}{b}[/tex3] usando uma propriedade de proporções teremos o seguinte:
[tex3]\frac{x+y}{y}=\frac{a+b}{b}[/tex3] (1)
note agora que [tex3]x+y=c[/tex3] (2)

fazendo (2) em (1)

[tex3]\frac{c}{y}=\frac{a+b}{b}[/tex3] (3)

Note agora no [tex3]\Delta BCD[/tex3] que se traçar-mos [tex3]EC[/tex3] , ela também será bissetriz já que encontra o incentro. Pelo teorema da bissetriz interna em BCD temos:

[tex3]\frac{m}{b}=\frac{n}{y}[/tex3] (4)

comparando (3) e (4) teremos o seguinte:

[tex3]\frac{a+b}{b}=\frac{c}{y}[/tex3]
[tex3]\frac{a+b}{c}=\frac{b}{y}[/tex3] (4)

temos também que [tex3]\frac{m}{b}=\frac{n}{y}[/tex3]
[tex3]\frac{m}{n}=\frac{b}{y}[/tex3] (5)

substituindo (4) em (5) temos

[tex3]\frac{m}{n}=\frac{a+b}{c}[/tex3] forte abraço

Última edição: jvmago (Qua 05 Set, 2018 15:47). Total de 2 vezes.

Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.

jvmago

Movido de IME / ITA para Demonstrações em Qua 05 Set, 2018 16:23 por Ittalo25

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Na figura, I 1 e I 2 são incentros dos triângulos AHB e BHC , respectivamente .Se AB=c , BC=a e AC=b , calcule AE.
A) \frac{c.(b - c)}{a- b}
B) \frac{a.(c + b)}{a- c}
C) \frac{b. ( b - c)}{a + b}...

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E eis que encintro a solução.:

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A é o centro do círculo em azul. Prove: \angle1=\angle2 .
2.jpg
Auto r: Stanley Rabinowitz .

Na verdade me parece que B é o incentro do \Delta CDE .

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:shock: :)

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Na figura,determine “ x” sabendo que a e b são flechas medindo , respectivamente, 2m e 1m e , além disso,I e E são incentro e exincentro respectivamente.
A) \sqrt{5} m
B)3m
C)3,5m
D) \sqrt{10} m
E)...

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petras , perfeito! Obrigado!

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Em um triângulo retângulo reto em B, de incentro I, a soma
dos quadrados das áreas das regiões ABI e BCI é I. Calcule a área da
região ACI.

a) √l/2
b) √l
c) √2l
d) √l/√2
e)√l√3

gab - b

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ArthurToso ,

S_{\triangle ABI}^2+S_{\triangle BCI}^2 = l\\
(\frac{c.r}{2})^2+(\frac{a.r}{2})^2=l \implies \frac{1}{4}(c^2r^2+a^2r^2)=l^2\\
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Em um triângulo ABC marca-se o incentro I, tal que m < BIC=90°+ \frac{m < ACB}{2} .Se AC=AB, calcule m < ACI.
a)80°
b)10°
c)20°
d)100°
e)30°

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AngelitaB ,

Por propriedade

\angle BIC= \frac{\angle A}{2}+90^o = \frac{\angle C}{2} + 90^o \implies \angle A=\angle C(I)\\
AB=AB \implies \angle C \cong \angle B(II)\\
De(I) e(II) \triangle...

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